2022-2023学年福建省福州第十一中学高一上学期适应性训练（期中）数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州第十一中学高一上学期适应性训练（期中）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则的真子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【分析】利用列举法，写出集合，根据交集运算明确元素个数，根据公式，其中为元素个数，可得答案.

【详解】由题意，，则，即真子集个数为.

故选：C.

2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；

【详解】根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，

故选：D

3．函数的大致图象是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判断A,D,即得答案.

【详解】因为函数的定义域为 ，且

故是偶函数，排除选项B，C；

当时，，对应点在第四象限，故排除A，

故选：D.

4．若，有下面四个不等式：①，②，③，④.则不正确的不等式的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由得，再根据不等式的性质和基本不等式，逐一判断，即可求出结果.

【详解】由得，故，，故①④不正确；

，故③正确；

，均大于0且不等于1，由基本不等式可知，故②正确.

故选：C.

5．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】不等式化为，只需讨论，时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出的取值范围.

【详解】关于的不等式可化为，

当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；

当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；

所以的取值范围是或，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了不等式的解法与应用问题，同时考查了分类讨论思想，属于中档题.

6．若，则有（    ）

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．

故选：D.

7．函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分段函数单调性列不等式组求解

【详解】，故在上单调递减，

由题意得解得，

故选：B

8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．

【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，

又是偶函数，因此不等式转化为，

，，解得．

故选：D．

二、多选题

9．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．

【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，

A正确，B错，C正确，D正确，

故选：ACD．

【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．

10．已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义逐个判断选项，得出答案．

【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，

则，解得

又，且，

故选：CD

11．下列说法正确的是（       ）

A．若的定义域为，则的定义域为

B．表示同一个函数

C．函数的值域为

D．函数满足，则

【答案】ACD

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.

【详解】解：对于A，因为的定义域为，

对于函数，则，解得，

即的定义域为，故A正确；

对于B，定义域为，定义域为，不是同一函数，故B不正确；

对于C，令，则，，

所以，，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以函数的值域为，故C正确；

对于D，，

，化简得，

两式相加得，解得，故D正确．

故选：ACD．

12．定义在上的函数满足，且当时，，则有(    )

A．为奇函数 B．存在非零实数a，b，使得

C．为增函数 D．

【答案】ABC

【分析】对于A，对适当赋值即可判断；对于B，利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题进行判断；对于C，利用定义法进行判断；对于D，利用赋值法和单调性判断.

【详解】令，得，所以；

令，得，故，为奇函数，故A正确;

任取，则，

因为，故，

，，故为增函数，所以C正确；

，所以D错误；

，所以，

则，，当，，所以存在，使得，所以B正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.

【答案】-1

【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.

【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，

又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.

故答案为：-1.

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.

【答案】

【解析】设时，，，代入计算得到答案.

【详解】由题可知，时，，故，

故函数的解析式为：.

故答案为：.

15．已知，，给出下列四个不等式：

①；②；③；④.其中正确的不等式有____.（填上所有正确的序号）

【答案】①②③

【分析】利用基本不等式比较各项不等式左右两边的大小关系，注意等号成立的条件.

【详解】∵a>0，b>0，

∴①a+b+≥2≥2=2，当且仅当a=b=时取等号，正确；

②(a+b)()≥4·=4，当且仅当a=b时取等号，正确；

③∵≥，而a2+b2≥=(a+b)·≥(a+b)，

∴≥a+b，当且仅当a=b时取等号，正确；

④a+=(a+4)+-4≥2-4=-2，当且仅当a+4=，即(a+4)2=1时等号成立，而a>0，则(a+4)2≠1，

∴不能取等号，显然存在a=，有a+<a+，不正确.

故答案为：①②③

16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围．

【详解】解：

可得函数图象如下所示

由图可知，当时，存在，使得，

不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以；

对于、满足方程，即，所以，则有，

，

其中，则，

即

故答案为： ．

【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题．

四、解答题

17．已知，.

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求出集合、，利用交集的定义可求得集合；

（2）求出集合，由题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，

或，

因此，；

（2）由（1）可得，

若是的充分不必要条件，则，

所以，，解得.

①当时，，则成立；

②当时，，则成立.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了集合包含关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

18．已知，

（1）写出命题的否定；命题的否定；

（2）若或为真命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可；

（2）由或为真命题，则有为真命题或为真命题，从而即可求得实数的取值范围．

【详解】解：（1）：；：

（2）由题意知，真命题或真命题，

当真命题时，，

当真命题时，，解得，

因此，当或为真命题时，实数的取值范围为或，即．

19．已知函数．

(1)若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

(2)若不等式的解集为，求的值；

(3)若时，求时的最小值．

【答案】(1)

(2)，

(3)

【分析】（1）根据函数的对称轴为，且在上是增函数，可得，由此求得a的范围；

（2）由题意得0，2是方程的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，求出的值；

（3）根据的对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得．

【详解】（1）∵函数的对称轴为，且在上是增函数，

∴，解得，

∴实数a的取值范围是．

（2）若不等式的解集为，

则0，2是方程的两个实数根，

∴，∴．

（3）若，则，对称轴为，

当，即时，函数在到单调递增，

则，

当，即时，

函数在单调递减，在单调递增，

则，

当，即时，函数在单调递减，

则，

综上，．

20．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数求得，因为，可求得，即可得函数的解析式；

（2）根据函数的单调性的定义即可证明.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，则，

所以，，则，

因此．

（2）解：函数在上是增函数．

证明如下：

任取，且，

则，

因为，，

则，，

故，

即．

因此，函数在上是增函数．

21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?

【答案】(1)

(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

【分析】（1）根据待定系数法可得；

（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得.

【详解】（1）由题意可设，

由图知，函数和的图象分别过点和，

代入解析式可得，

所以

（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，

则，

令，则，

当，即时，，

所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

22．已知，函数.

（1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值；

（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）的图象开口向上，对称轴为，故在上单调递减，进而得，解得；

（2）根据题意对恒成立，故且在恒成立，再分别求函数，的最大值和，的最小值即可得答案.

【详解】（1）∵的图象开口向上，对称轴为，

∴在上单调递减，

∴，即，解得.

（2）不等式对恒成立，

即对恒成立，

故且在恒成立，

令，，

所以，

所以.

令，

所以，

所以.

综上：.

【点睛】本题考查二次函数的最值，二次函数在区间上恒成立问题，考查独立参数法和数学运算能力，是中档题.