2022-2023学年江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则A，B间的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】计算得到，得到集合的关系.

【详解】，，故.

故选：D

2．下列选项中与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角.

【详解】与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求.

故选：C

3．命题“”的否定形式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.

【详解】命题“”的否定形式是 “”，

故选：D

4．已知，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为，即，，即，，即，所以

故选：B

5．如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（　　）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】∵点位于第四象限，∴，

∴角所在的象限是第二象限．

故选B．

6．国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为，则下列数中最接近数值的是（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则计算后可得．

【详解】，，

因此最接近于．

故选：D．

7．函数的图像大致为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.

【解析】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.

8．设，，且，则（    ）

A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值

【答案】B

【分析】由换元法与基本不等式求解，

【详解】设，则，，

，

当且仅当即，时等号成立，

故当，时，取最小值，

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A． B．1弧度的角比的角大

C．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关 D．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4

【答案】AB

【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB，根据弧度制的定义即可判断C，根据扇形的弧长公式和面积公式即可判断D.

【详解】解：对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C错误；

对于D，设扇形的圆心角为，半径为，

因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，

则有，解得或，即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D错误.

故选：AB.

10．已知函数，，且，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用函数图象的作法，结合对数函数的图象得函数图象，从而得，且，对A进行判断，利用题目条件所得结论，结合函数的性质，对B进行判断，利用利用题目条件所得结论，结合不等式性质，对C进行判断，利用利用题目条件所得结论，结合利用基本不等式求最值，对D进行判断，从而得结论．

【详解】解：因为，，

所以由函数图象知，且．

对于A，因为，所以A不正确；

对于B,因为，且，

所以．

因为函数是单调递减函数，

所以函数的值域是，

因此，即，所以B正确；

对于C,因为，且，

所以，因此C正确；

对于D,因为，且，

所以,

当且仅当时，等号成立，

而，因此，所以D正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点睛：本题考查了函数图象的作法，不等式性质，利用基本不等式求最值，解题的关键是画出函数图象，根据图象得出，且．

11．已知符号函数下列说法正确的是（    ）

A．函数图象的对称中心坐标是 B．对任意，

C．函数的值域为 D．对任意的，

【答案】ABD

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用符号函数的定义可判断BD选项；分、、三种情况讨论，分别求出函数的值域和函数值，综合可得出函数的值域，可判断C选项.

【详解】对于A选项，当时，，，，满足，

当时，，，，满足，

又，所以，函数图象的对称中心坐标是，A对；

对于B选项，对任意的，，则，B对；

对于C选项，当时，，，，则，

当时，，，，则，

又因为，综上，函数的值域为，C错；

对于D选项，当时，，当时，，

又因为，故对任意的，，D对.

故选：ABD.

12．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．函数过定点

C．若函数满足，则的图象关于直线对称

D．函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是

【答案】ABC

【分析】求出的解集结合充分不必要条件的定义可判断A；求出对数复合函数恒过定点可判断B；根据函数的对称性可判断C；根据题意把问题转化为与是方程的两个不相等的实数根，换元后转化为一元二次方程问题，进而利用二次函数图象进行求解可判断 D，

【详解】对于A，，解得：，所以，但不一定得到，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；

对于B，恒过点，B正确；

对于C，由得， 则的图像关于直线对称，C选项正确；

对于D，函数，根据复合函数单调性可知：单调递增，结合题意可得： 即，化简得：，则与是方程的两个根，令，则与是一元二次方程的两个不相等的正实根，令，故满足：，解得：，D选项错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．若幂函数的图像经过点，则__________．

【答案】

【分析】设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.

【详解】设：，图像经过点，即

故答案为

【点睛】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.

14．求值：______.

【答案】

【分析】根据指数运算和对数运算，直接求解即可.

【详解】.

故答案为：.

15．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点是______.

【答案】

【分析】设，并表达出时的方程，解出参数，求出表达式，令其为零，即可得到函数的零点.

【详解】解：由题意

在中，在上是单调函数，，

设，则

解得：

∴

当时，解得：

∴的零点是

故答案为：.

16．已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，且.若A是的一个内角，且满足，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】偶函数在区间上单调递增，则在区间单调递减，依据此可将中的“”去掉，进而解出的取值范围.

【详解】偶函数在区间上单调递增，则在区间单调递减，

，

又是的一个内角，则，

且

化简得：

故答案为：.

四、解答题

17．已知角的终边经过点，

(1)求值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点坐标求出正余弦三角函数值结合诱导公式和同角的三角函数关系即可求出结果；

（2）直接代入正余弦值即可．

【详解】（1）由题意，，则

原式；

（2）原式．

18．设全集，已知集合，.

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由已知解出集合A，B，根据并集的运算即可得出答案；

（2）若，则，根据集合间的包含关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当，，

，即，

又或，

或.

（2）已知，

由（1）知或，

若，则，

∴或，

解得或，

实数a的取值范围为.

19．设是上的奇函数，，当时，.

(1)求的值；

(2)求时，的解析式；

(3)当时，求方程的所有实根之和.（写出正确答案即可）

【答案】(1)

(2)

(3)见解析

【分析】（1）首先根据已知求出函数周期，然后借助函数的周期性求解函数值即可；

（2）首先根据函数的奇偶性求解的解析式，再根据已知条件求得的解析式，进而求得答案；

（3）首先画出函数在的图像，然后结合图像根据对称性求得函数实根之和.

【详解】（1）由，

得，

所以.

（2）若，则，则，

是奇函数，，即，，

即当时，，

若，则，

，

即当时，的解析式为.

（3）作出函数在时的图像，如下图，

则函数的最小值为，

若，则方程无解，

若，则函数在上的零点为，，则，

若，则函数在上共有4个零点，则它们分别关于和对称，设它们分别为，则，，即.

20．设（，）是奇函数.

(1)求m与n的值；

(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数的表达式对定义域内所有自变量成立即可求解；

（2）利用奇函数的变换和分离常数法确定的单调性，再利用参变分离即可求解.

【详解】（1）因为是奇函数，

所以，

即对定义域内任意实数x成立.

化简整理得，这是关于x的恒等式，

所以

所以或.

经检验符合题意.

（2）因为，且是奇函数

所以，

因为在R上单调递减，

所以，

即对任意都成立，

由于，其中，

所以，即最小值为3

所以，

即，

将看作一个整体，

解得，

故，

即.

21．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的定义域、值域和单调性，由题意可得，解不等式即可得出答案.

（2）求得时，的值域；讨论和时的值域，由题意可得与值域有交集，即可得所求范围.

【详解】（1），定义域为

，函数是奇函数.

又在时是减函数，

故不等式等价于

即，又，∴

解得

故不等式的解集为.

（2）由题意知：时，与值域有交集.

时，是减函数  ∴，

当时，，时单调递减，，

∴    ∴

当时，，时单调递增，，显然不符合

综上：a的取值范围为

22．已知函数，.

(1)若关于x的方程有两个不同的实数解，求实数a的值；

(2)求函数在区间上的最大值.

【答案】(1)或

(2)当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为；当时，在上的最大值为0.

【分析】（1）由整理得，要有两不同的实数解，则必须存在一个不等于1的解，分为和两种情况分类讨论即可求解；

（2）去绝对值得需对，，，，几类情况分类讨论，确定分段函数在各分段区间单调性，确定最值，进而得解.

【详解】（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲使原方程有两解，即要求方程（*）

必须要存在一个不等于1的解，显然，当时，方程*解为符合；

当时，由得或，令，得符合.

综上：或；

（2）因为

①当，即时，大致图象如下，可知在上递减，在上递增，且，，，故在上的最大值为；

②当，即时，大致图象如下，可知在，上递减，在，上递增，且，，，，，

故在上的最大值为；

③当，即时，大致图象如下，可知在，上递减，在，上递增，且，，，，故，

，故，

此时在上的最大值为；

④当，即时，大致图象如下，可知在，上递减，在，上递增，且，，

，故在上的最大值为.

⑤当，即时，大致图象如下，可知在时，，在时，递增，，时，，

故在上的最大值为.

综上所述，当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为；

当时，在上的最大值为0.