2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期月考（一）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州大学附属中学高二上学期月考（一）数学试题

一、单选题

1．数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据分子和分母的数学特征进行判断即可.

【详解】原数列可变形为，

所以，

故选：C

2．已知直线与直线互相平行，则实数的值为(    )

A． B．2或 C．2 D．

【答案】D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出a的值，再排除使两直线重合的a的值即可﹒

【详解】直线斜率必存在，

故两直线平行，则，即，解得，

当时，两直线重合，∴．

故选：D．

3．已知实数满足，那么的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】 由题意知，表示点到坐标原点的距离，

 又原点到直线的距离为，

 所以的距离的最小值为，故选A.

4．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

5．已知点，，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用斜率公式和m的取值范围求出斜率k的取值范围，再根据斜率与倾斜角之间的关系求出倾斜角的取值范围.

【详解】由题可得：，因为，所以.又因为在和内，k随着倾斜角的增大而增大.又，，所以倾斜角或.

故选：B.

6．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，

所以有，，

因此有，

要想四边形周长最小，只需最小，即当时，

此时，此时，

即最小值为，

故选：A

【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键.

7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（    ）

A．13 B．16 C．31 D．64

【答案】C

【解析】根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.

【详解】，，

，，，，

，

所以解下6个环所需的最少移动次数为.

故选：C.

8．若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.

【详解】解：由得，

所以直线与半圆有个公共点，

作出直线与半圆的图形，如图：

当直线经过点时，，

当直线与圆相切时，，解得或（舍），

由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，

故选：B.

二、多选题

9．已知数列，则前六项适合的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．

【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；

对于选项B，取前六项得：，不满足条件；

对于选项C，取前六项得：，满足条件；

对于选项D，取前六项得：，不满足条件；

故选：AC

10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与圆一定有公共点

B．当时直线被圆截得的弦最长

C．当直线与圆相切时，

D．圆心到直线的距离的最大值为

【答案】BCD

【分析】由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确；

当时可得直线l过圆心，所以B正确；

直线l与圆相切时可得，所以C正确，

当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确．

【详解】由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故正确.

故选：BCD.

11．下列结论正确的是（    ）

A．过点(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5;

B．已知直线kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为;

C．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，直线m的方程是ax＋by＝r2，则m与圆相交;

D．若圆上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是(4，6).

【答案】CD

【分析】A选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；B选项中直线kx-y-k-1＝0恒过点，计算即可求解；C选项中利用圆心到直线距离及点P在圆外即可判断；D选项根据以N为圆心，1为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解.

【详解】A中直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故错误；

B中直线kx-y-k-1＝0可化为，所以直线恒过定点，，直线与线段相交，所以或，故错误；

C中圆心到直线的距离，而点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，所以

，所以，所以直线与圆相交，故正确.

D中与点N（1，0）的距离为1的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故D正确.

故选：CD

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式，斜率公式，直线过定点，考查计算能力，属于中档题．

12．已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l恒过定点

B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1

C．圆C与曲线恰有三条公切线，则

D．当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点

【答案】CD

【分析】对A将直线化成，则，解出即为定点；对B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B，对C，直接将代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D，设点，利用两点直径式方程写出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数的方程，即可求出定点坐标.

【详解】由直线:,,整理得:,故,解得,即经过定点,故A错误;

当时,直线为,

圆心到直线的距离

故圆上有四个点到直线的距离都等于1,故B错误;

圆,其半径，

圆,

当时, ,整理得

，其半径

圆心距为，

故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;

当时,直线的方程为,

设点,圆的圆心,半径为,

以线段为直径的圆的方程为:

,

即,

又圆的方程为,

两圆的公共弦的方程为

整理得,即,解得,

即直线经过点,故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由题意对任意恒成立，从而可得答案.

【详解】数列为严格增数列，则

所以，即对任意恒成立

所以

故答案为：

14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为________．

【答案】

【分析】设圆心为，半径为写出圆的标准方程，根据点在圆上及已知条件求m值，再应用点线距离公式求圆心到直线距离.

【详解】设圆心为，半径为，则，

由题设，且，

当，，可得或；

当，，方程无解；

所以圆心为或，

当圆心为到的距离为；

当圆心为到的距离为；

所以圆心到直线的距离为.

故答案为：

15．已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】根据圆的切线的性质，结合三角形面积与，化简可得，进而得到，根据最短时，最短求解即可

【详解】圆，即，

由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，

，，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以，即，

所以最短时，最短，

点C到直线的距离即为的最小值，

所以，所以的最小值为

故答案为：

四、双空题

16．在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，，则线段的中点到原点的距离等于___________；若，则当k，m变化时，点C到点的距离的最大值为___________．

【答案】         

【分析】求出，，由可得，的中点坐标为，

可得；利用得，即轨迹为动圆，设圆心为，代入，可得，由点C到点的距离可得答案.

【详解】令得，所以，令得，所以，

所以，可得，

的中点坐标为，

所以，

则线段的中点到原点的距离等于；

因为，设，所以，即

，即，

即轨迹为动圆，设圆心为，

则代入，可得，

所以点C到点的距离的最大值为.

故答案为：①②.

五、解答题

17．已知数列满足，且.

(1)求；

(2)证明：数列是等差数列.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得；

（2）将推递关系式进行变形，得到，从而得证.

【详解】（1）因为，

所以.

（2）因为，

所以，

则，

故，

又，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列.

18．已知△ABC的顶点，边上的中线所在直线方程，边上的高所在直线方程为求：

(1)顶点的坐标；

(2)直线的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据直线的斜率，求得直线的斜率以及其方程，再求直线与的交点坐标即可；

（2）设出点的坐标，根据点在直线上，以及的中点坐标满足直线的方程，从而求得点的坐标，再求直线方程即可.

【详解】（1）高所在直线方程为，其斜率为，故直线的斜率为，

则直线的方程为：，即，

联立方程与中线所在直线方程，可得，，

故点的坐标为.

（2）设点的坐标为，由点在直线上可得；

的中点的坐标为，点的坐标满足直线方程，即；

故可得，即点坐标为.

则直线的斜率为，故直线的方程为，

整理可得：，故直线方程为：.

19．已知圆．

(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．

【答案】(1)或；

(2)或或或．

【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；

(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.

【详解】（1）圆的圆心，半径，

因为直线过定点，所以可设直线的方程为，

因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，

当时，直线的方程为；

当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.

（2）因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．

当圆D与圆C外切时，，

即，解得或，所以圆D的方程为或．

当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．

综上，圆D的方程为或或或．

20．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．

(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；

(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；

(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1) 设，，可得，代入圆化简即可；

(2) 联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果；

(3) 作关于轴得对称点，连接与x轴交于Q点，根据时求解即可.

【详解】（1）设，，点A在圆，所以有：，

P是A，B的中点，，即，得P得轨迹方程为：；

（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，

设到直线MN得距离为d，则,

所以，；

（3）作出关于轴得对称点，

如图所示；

连接与x轴交于Q点，点Q即为所求，

此时，所以的最小值为.

21．已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；

（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）求线段AB长度的最小值．

【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．

【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果；

（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；

（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果.

【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，

因为PA是圆M的一条切线，所以，

所以，

解得或，

所以点P的坐标为或．

（2）设，因为，

所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为，

即，

由，

解得或，

所以圆过定点，．

（3）因为圆N方程为，

即①

又圆②

①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为

．

点到直线AB的距离，

所以相交弦长

，

所以当时，AB有最小值．

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难.

22．如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于、两点，交直线于、两点．

(1)若，求的值；

(2)设直线、的斜率分别为、，试探究斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

(3)证明：直线、的交点必然在一条定直线上，并求出该定直线的方程．

【答案】(1)；

(2)恒为定值；

(3)证明见解析，交点恒在定直线上.

【分析】（1）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可求得实数的值；

（2）设点、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，即可证得结论成立；

（3）设直线的斜率为，可得出，写出直线、的方程，求出两直线交点的纵坐标，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：圆的圆心为，到直线的距离为，

，可得，解得.

（2）解：将代入圆О方程，并整理得，

则，设点、，

由韦达定理，．

，所以，，同理，

于是（定值）.

（3）解：注意到，设直线的斜率为，则，即．

直线的方程为，直线的方程为的交点满足，

即，解得，故直线、交点必在定直线上．