2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州市第一中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定方法进行否定.

【详解】命题“，”的否定是：，.

故选：A

2．设全集是实数集R，或，.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】由韦恩图知阴影部分为，应用集合的并、补运算求结果.

【详解】由图知：阴影部分为，而或，

所以.

故选：A

3．已知，，若，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.

【详解】由集合相等可知 且，则，

∴，于是，解得或．

根据集合中元素的互异性可知应舍去，

因此，

故．

故选：C.

4．集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.若对于任意两个有限集合，有.某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）

A．28 B．23 C．18 D．16

【答案】C

【解析】设参加田赛、径赛的同学组成集合，再由集合论即可得解.

【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，

参加径赛的学生组成集合B，则，

由题意得，

所以，

所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有.

故选：C.

【点睛】本题考查了数学文化与集合运算的综合应用，考查了转化化归思想，属于基础题.

5．已知，命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】C

【分析】首先求出命题为真时参数 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件；

【详解】解：因为，为真命题，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以

又因为

所以命题“，”是真命题的一个充分不必要条件为

故选：C

【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题.

6．已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】因为集合仅有两个子集,可知集合仅有一个元素.对分类讨论,即可求得的值.

【详解】由集合仅有两个子集

可知集合仅有一个元素.

当时,可得方程的解为,此时集合,满足集合仅有两个子集

当时,方程有两个相等的实数根,则,解得或,代入可解得集合或.满足集合仅有两个子集

综上可知, 的取值构成的集合为

故选:B

【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.

7．已知，，且，求的最小值为（    ）

A．25 B．18 C．13 D．12

【答案】A

【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．

【详解】解：已知，，且．

，即．

则，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为25．

故选：A．

8．已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题意得出，原式可化为，利用基本不等式求出最小值．

【详解】解：因为三角形的面积为，且，，，

所以，

当且仅当，即时取等号，即最小值为3．

故选：D．

二、多选题

9．已知， ，下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据集合A、B的特征，结合元素与集合的关系进行判断．

【详解】∵是数集；为点集，

∴，，，故A错误，C、D正确；

由知，时，∴,，故B错误．

故选：CD．

10．下列选项中是的必要不充分条件的有（    ）

A．：，：

B．：，：

C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等

D．：，：

【答案】AD

【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．

【详解】对于A：，而当时，不一定有，是的必要不充分条件，故A正确；

对于B：，，是的充要条件，故B错误；

对于C：两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，是的充分不必要条件，故C错误；

对于D：当时，则，反之，当时，不一定成立，是的必要不充分条件，故D正确．

故选：AD．

11．下列结论中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】由可判断A；由基本不等式可判断B、C、D.

【详解】当时，，故A错误；

当时，，则，故B错误；

当，时，，，相加可得，故C正确；

当，时，，故D正确.

故选：CD.

12．已知，为正数，且，，，下列选项中正确的有（    ）

A．的最小值为2 B．的最小值为6

C．的最小值为16 D．的最小值为5

【答案】ABC

【分析】由，可判定A正确，B不正确；由由，利用基本不等式，可判定C正确；由，结合基本不等式，可判定D不正确.

【详解】由题意，实数，为正数，且，可得，

可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2，

所以A正确，

由，当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，所以B正确；

由，

当且仅当时，即时，等号成立，

即的最小值为，所以C正确；

由，可得，

则，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以D不正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知集合，，则=________.

【答案】

【分析】构造方程组解出集合的交集.

【详解】解：联立，解得，

则．

故答案为：．

14．已知条件：，条件：，且满足是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】解绝对值不等式求为真时x范围，根据必要不充分条件即可确定a的范围.

【详解】若为真，则，而为真时，

由是的必要不充分条件，

所以.

故答案为：

15．已知，，且满足，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【详解】由，且，，

所以，

当且仅当，即，时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

四、双空题

16．已知：命题：，，则命题的否定是_________；若命题为假命题，则实数的取值范围是_____.

【答案】     ，    

【分析】写出特称命题的否定，根据命题为假，则其否定为真，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.

【详解】由题设，命题的否定是，；

为假命题，即，为真命题，

所以，可得.

故答案为：，；.

五、解答题

17．己知集合，，.

(1)求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或，，

(2)

【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得；

（2）由，直接求出的取值范围即可．

【详解】(1)解：因为，，

∴或，，

(2)解：∵，，，

∴，∴实数a的取值范围．

18．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．

（1）当m＝－1时，求A∪B；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）时，可得出，然后进行并集的运算即可；

（2）根据“”是“”的必要不充分条件，可得出且，然后即可得出，然后解出的范围即可.

【详解】解：（1）时，，且，

；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，

，且

，解得，

实数的取值范围为.

19．

(1)解关于的不等式；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1) 或 ；

(2) .

【分析】（1）根据二次函数的图像求解即可；

（2）将分式不等式转化为一元二次不等式再求解.

【详解】(1)由 得 ，由二次函数 的图像可知：

或 ；

(2)由 得： ， ，

由于 与 同解，所以不等式的解为 ；

综上，（1） 或；（2）.

20．给定两个命题：命题p：对于任意的实数x，都有恒成立：命题q：关于x的方程有实数根．

(1)若p为真，求实数a的取值范围；

(2)如果p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式恒成立可得的范围；

（2）由一元二次方程的判别式得为真时的范围，有且只有一个为真，即为一真一假，由此可得结论．

【详解】(1)由题意，解得，故所范围是；

(2)命题为真时，，解得．

如果p与q中有且仅有一个为真命题，

①如果p真q假，则由且，得．

②如果p假q真，则由或且，得，

综上，a的取值范围为．

21．已知实数，满足，．

（1）若，求的最小值；

（2）设，求的最小值．

【答案】（1）9；（2）．

【解析】（1）展开后利用基本不等式即可求解.

（2），展开后利用基本不等式即可求解.

【详解】已知实数、满足，．

（1）若，

，当且仅当成立，故最小值为9；

（2）∵，

∴，

∴

，

当且仅当时，取“”，

综上所述，原式的最小值为．

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，关键在于将两个量转化为求一个量的最值，属于中档题.

22．某市近郊有一块400m×400m正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建一个总面积为3000的矩形场地（如图所示）．图中，阴影部分是宽度为2m的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为．

(1)求S关于x的关系式，并写出x的取值范围；

(2)当x为何值时S取得最大值，并求最大值．

【答案】(1)，

(2)m，最大值为2430

【分析】（1）设矩形场地的另一条边的长为y，可得，，即可得出面积关系式．

（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．

【详解】(1)解：（1）设矩形场地的另一条边的长为y，则，即，且，

，

∵，

∴，

∴，；

(2)，

当且仅当，即，满足，等号成立，

故当m时，S取得最大值，其最大值为2430．