2022-2023学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义求，再由并集的定义求.

【详解】因为，，

所以，又，

所以，

故选：C.

2．已知A为奇数集，B为偶数集，命题，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.

【详解】命题，，

则，.

故选：D

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】解：由，解得，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．已知，则（    ）

A．27 B．18 C．15 D．25

【答案】B

【分析】根据，利用平方公式、立方公式，集合指数幂运算求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B

5．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用(单位：瓦/米2，即)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用(单位：分贝)表示，它们满足换算公式：(，其中是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设该小区内公共场所声音的强度水平为，，相应声音的强度为，，代入可得选项.

【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为，，相应声音的强度为，，

由题意，得，即，

解得.

故选：C.

【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题.

6．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，解不等式组即可

【详解】函数在上单调递减，

则有，即

解得，

故选：C

7．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】由且不等于1，

由题意得，，解得.

故选：D.

8．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值.

【详解】，，，，

当时，，，

因为，所以，即

当时，，，，

因为，所以，

当时，，，，，

因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立，

正整数的最大值为4，

故选：A．

9．已知定义在R上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①，都有；②.且时，都有；③，则下列成立的是（    ）

A． B．若，

C．若，则 D．，，使得

【答案】B

【分析】根据题意得满足条件的函数为偶函数，在是减函数，且，再根据函数性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；说明函数是偶函数；

②，当时，都有；说明函数在是减函数；

③．

因此函数在是增函数，且；

所以成立，所以A错误；

若是奇函数，，．则或，可得，所以B正确；

若，可得，则，所以C错误；

因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是减函数，所以，，使得，所以D错误．

故选：B．

二、多选题

10．下列各组函数不是同一组函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】利用相等函数定义对选项进行判断得解.

【详解】A. 定义域为 ，定义域为    , 不是同一组函数

B. 定义域为,定义域为不是同一组函数

C. 定义域为,对应关系一致    , 是同一组函数

D. 定义域为定义域为,不是同一组函数

故选：ABD

【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

11．已知集合A，B，C是全集为U的非空真子集，且满足：，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据集合间的关系可得，作出Venn图，利用集合的交、并、补的概念和运算逐一判断选项即可.

【详解】因为，，所以，

所以，用Venn图表示，如图，

由图可知，

，故A正确；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确；

故选：ABD

12．已知函数，下列说法正确的是（   ）

A．的最大值为1 B．在上单调递减

C．的最大值为2 D．的值域为

【答案】ACD

【分析】写出的解析式，利用二次函数的性质求出最大值即可判断A；由在递增，即可判断B；利用不等式可求出的最大值，即可判断C；在上递增，求出值域即可判断D．

【详解】，，∴当时，取最大值1，故A正确；

，在递增，故B错误；

∵，∴，

∴，当且仅当时取等号，故C正确；

，在上递增，值域为，故D正确，

故选：ACD．

三、填空题

13．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.

【详解】解：因为函数（）是偶函数，所以，

所以，得，所以，

故答案为：0.

14．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______

【答案】

【分析】分和两种情况保证方程只有一个解或重根，求出a的值即可．

【详解】当时，只有一个解，

则集合有且只有一个元素，符合题意；

当时，若集合A中只有一个元素，

则一元二次方程有二重根，

即，即

综上，或，故实数a的取值的集合为

故答案为：

15．已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据不等式的解集为，可得方程的两根分别为和，且，利用韦达定理可得，，代入不等式求解即可．

【详解】因为不等式的解集为，

所以方程的两根分别为和，且．

所以 ，解得，，

代入不等式，得．

又因为，所以不等式可化为，解得，

所以不等式的解集为．

故答案为：．

16．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是___________.

【答案】

【分析】作出函数的图像，由图像可得要方程有8个相异实根，则必有2相异实根，且两根均在内，利用根的分布知识列不等式求解即可.

【详解】作出函数的图像如下：

令，则，

要方程有8个相异实根，

则必有2相异实根，且两根均在内

则，解得

故答案为：.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据指数的运算法则化简即可；

（2）根据对数的运算法则及性质化简即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式．

18．已知集合，集合

（1）求；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解分式不等式确定集合，然后由补集定义计算；

（2）先确定，然后交集的定义得出不等关系求得结论．

【详解】解：（1）由题意知，所以.

（2）因为，所以，

因为，所以或，

解得.

19．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10.

(1)求的值；

(2)设，证明：函数在上是增函数.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出函数的对称轴，结合开口方向，得到函数在区间[−1，4]的最大值和最小值，从而求出的值．

（2）由（1）得，再函数单调性的定义证明即可．

【详解】（1）因为，二次函数的对称轴为，

所以在上为减函数，在上为增函数，

从而得，

解得；

（2）由（1）得，则，

设任意的且，则，

那么

，

因为，

所以，

所以，

所以是上的增函数.

20．已知正实数x，y满足等式.

(1)若不等式恒成立，求实数m的取值范围；

(2)求的最小值.

【答案】(1).

(2)8.

【分析】（1）即，求的最小值，再解不等式即可.

（2）由已知作变换：即可.

【详解】（1）因为正实数x，y满足等式，所以

，

当且仅当时最小值；

，

（2）由已知，

又，当且仅当取等，

的最小值为8.

21．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数．

(1)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

(2)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可；

（2）由题意得，则，设，，，利用单调性求解即可．

【详解】（1）因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，

整理为，

所以且恒成立．

即对于任意恒成立．

令，

则，解得．

（2）因为，

所以，

设，因为，所以，

则，，

设，

则，

因为，所以，

则，即，

所以得在上单调递增，

所以，

所以

所以．

22．已知函数

(1)当时，求的单调增区间；

(2)若，使，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递增区间为和

(2)

【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算求出实数a的取值范围．

【详解】（1）当时，，

时，单调递增，

时，在上单调递增，在上单调递减，

所以的单调递增区间为和，

（2），使

所以，

即，     

①当时，，对称轴，

当即时，，

，

所以，

所以或，

因为，所以 ，

当即时，，

，

 所以，

，

因为，所以，

②当时，，对称轴，

 所以，

，

 所以，

，

所以 ，                         

③当时，，

因为，

因为，

所以不可能是函数的最大值，

所以，

所以，

所以，                              

综上所述：a的取值范围是  .

【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将，使，转化为，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力