2022-2023学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则集合等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，再根据集合的补集、交集运算求解.

【详解】∵，则

∴

故选：A.

2．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（    ）．

A．，3 B．1，3 C．，，1 D．，1，3

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用函数的定义域和奇函数定义即可求解.

【详解】因为，函数的定义域为R，

所以或，

由是奇函数，则，

经检验，当或时，都有，

故值为1，3.

故选：B.

3．奇函数在区间上是减函数，最小值为，则函数在区间上是（    ）．

A．增函数且最大值是5 B．增函数且最小值是5

C．减函数且最大值是5 D．减函数且最小值是5

【答案】C

【分析】结合已知条件，利用奇函数的对称性即可求解.

【详解】因为奇函数在区间上是减函数，最小值为，

所以由奇函数的图像关于原点对称可知，函数在区间上是减函数且最大值是5.

故选：C.

4．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.

【详解】解：，

，

，

因为，

所以.

故选：D.

5．已知a＞0，且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　  　）

A．（0，1） B．（1，+∞） C．（，3] D．（1，3]

【答案】D

【分析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】由于，所以在上递增.所以，解得.

故选：D

【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题.

6．为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作

A．30 B．40 C．60 D．90

【答案】C

【解析】计算函数解析式，取，计算得到答案.

【详解】根据图像：函数过点，故，

当时，取，解得小时分钟.

故选：.

【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求出函数的定义域，根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据特殊函数值排除部分选项即可得到答案.

【详解】由已知的

，即是奇函数，图象关于原点对称，排除D，

，排除C，

，所以在是减函数，排除B，

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在R上为局部奇函数，则实数a的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用函数新定义，通过分离参数和基本不等式即可求解.

【详解】由局部奇函数的定义可知，，

从而，

因为，

所以，

当且仅当，即时，不等式取等号，

从而，

即实数a的取值范围是.

故选：B.

二、多选题

9．下列函数中，对任意，，，满足条件的有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】结合已知条件，根据函数的凸凹性即可求解.

【详解】由题意可知，在上是下凸函数，

由指数函数的图像和性质可知，AB正确；

由幂函数的图像和性质可知， C错误，D正确.

故选：ABD.

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“，”是真命题，则

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由等价于且，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

11．下到说法正确的是（    ）．

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．图象关于点成中心对称

C．幂函数在上为减函数，则m的值为1

D．的最大值为

【答案】BC

【分析】对于A：利用抽象函数定义域求法即可判断；对于B：由函数对称性的性质即可判断；对于C根据幂函数的性质即可判断；对于D：利用换元法和指数函数单调性即可判断.

【详解】对于A：因为函数的定义域为，

则对于，，

即函数的定义域为，故A错误；

对于B：因为，

所以，

从而图象关于点成中心对称，故B正确；

对于C：因为幂函数在上为减函数，

所以，解得，故C正确；

对于D：不妨令，

则由指数函数单调性可知，，

故有最小值2，无最大值，故D错误.

故选：BC.

12．下列说法正确的有（       ）

A．的最小值为2

B．已知，则的最小值为

C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3

D．设x，y为实数，若，则的最大值为

【答案】BD

【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，

对于B选项，当时，，

则，

当且仅当时，等号成立，故B选项正确，

对于C选项，若正数、满足，则，

，

当且仅当时，等号成立，故C选项错误，

对于D选项，，

所以,当且仅当时，等号成立，可得，

时取最大值，故的最大值为，D选项正确．

故选：BD．

三、填空题

13．已知函数（且）恒过定点P，则点P的坐标为___________.

【答案】

【分析】指数函数必然满足，取指数为0即可求得定点.

【详解】由知，当时，，即过定点.

故答案为：

14．若，，则___________．（用a、b表示）

【答案】

【分析】先转化指数式为对数式，再利用换底公式即可求解.

【详解】因为，所以

因此.

故答案为：

15．某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.

【答案】

【分析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加各类比赛的学生人数，即可得解.

【详解】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，

由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为.

故答案为：.

四、双空题

16．设函数的定义域为，满足，且当时，.（1）当时，的最小值为__________；（2）若对任意，都有成立，则实数m的最大值是__________.

【答案】         

【分析】（1）由得，，由于，然后利用基本不等式求的最小值；

（2）分别求出时，时，时，的值域，解方程可得m的最大值.

【详解】解：（1）由得，，

因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，

（2）因为，所以，

因为当时，，

所以 时，，

 ，值域，

当时，， ，

当时，， ，

因为，所以时，，解得

若对任意，都有成立，则，

所以实数m的最大值为，

故答案为：（1），（2）

【点睛】此题考查函数与方程的综合运用，考查了函数解析式的求法，考查分类讨论的思想 属于较难题.

五、解答题

17．（1）求值：；

（2）求函数的定义域．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合已知条件，利用对数运算法则求解即可；

（2）结合函数解析式直接求定义域即可.

【详解】（1）由题意，

；

（2）由知，

且且，解得或，

从而的定义域为.

18．已知幂函数关于y轴对称，且在上单调减函数．

(1)求m的值；

(2)解关于a的不等式．

【答案】(1)1

(2)或

【分析】(1)结合幂函数的奇偶性以及单调性即可求解；(2)结合(1)中结论对不等式化简，并通过解一元二次不等式即可求得答案.

【详解】（1）因为幂函数在上单调减函数，

所以且，解得或，

因为幂函数关于y轴对称，

所以是偶函数，

故为偶数，从而只有满足题意，

从而m的值为1.

（2）由(1)中知，，则，

即，

解得或，

故不等式的解集为：或.

19．已知命题p：“，”是假命题．

（1）求实数m的取值集合B；

（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出m的范围．

（2）通过对一元二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“是的必要不充分条件，”即，求出a的范围即可

【详解】（1）由题意，命题：“，都有不等式成立”是真命题，

得在恒成立，

∴，

由于二次函数开口向上，对称轴为，故在取得最大值

得，即；

（2）不等式，

①当，即时，解集，

若是的必要不充分条件，则，

∴，即，即

②当即时解集，

若是的必要不充分条件，则成立，

③当，即时解集，

若是的必要不充分条件，则成立，

∴，此时．

综上①②③：实数a的取值范围为．

20．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．

(1)求的函数关系式；

(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)

(2)当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.

【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以.

（2）当时，，

由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，

且

从而，

即在上的最大值为240；

当时，，

因为，

当且仅当，即时，不等式取等号，

从而，

即当时，有最大值270，

此时肥料费用.

综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.

21．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)判断并证明函数的单调性；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)，

(2)见解析

(3)

【分析】(1)结合已知条件，利用奇函数性质即可求解；(2)利用指数函数单调性即可判断的单调性，然后利用单调性定义即可证明；(3)利用的单调性和奇偶性，并对参数进行分类讨论即可求解.

【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，

所以，即，

，解得.

故，.

（2）由(1)中知，，

由指数函数的单调性，在上单调递减，

证明：设，，，

则，

由指数函数单调性可知，，即，

故，即，

所以在上单调递减.

（3）因为是上的奇函数，

所以，

因为在上单调递减，

所以，即，

从而对任意的，恒成立，

当时，不等式恒成立，满足题意；

当时，欲使对任意的，恒成立，

只需，解得.

综上所述，k的取值范围为.

22．已知函数在区间上有最大值4和最小值

（1）求､的值；

（2）设

①若时，，求实数的取值范围；

②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）①；② .

【分析】（1）由二次函数的单调性求得最大值和最小值，从而可求得；

（2）① 不等式分离参数得，可换元设，然后由二次函数性质求得最小值，进而得的范围；

② 化简方程，换元设和，转化关于的二次方程，由根的分布知识求解．

【详解】（1），对称轴是，又，

所以在上单调递增，则，解得．

（2）由（1），，

①即，，

令，记，，，

即的取值范围是.

② 由得，

即，且，令，则方程化为，

又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，

有两个根且或，

记，

则或，解得．

故的取值范围是．