2022-2023学年广东实验中学越秀学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东实验中学越秀学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若全集，，，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集和补集的定义，先算，，然后再求

【详解】依题意得，，于是.

故选：B.

2．函数的定义域是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解不等式组即得解.

【详解】函数有意义，则，即且，

所以函数的定义域为.

故选：C.

3．下列各组函数表示同一函数的是

A． B．f（x）=x，g（x）=

C．f（x）=1，g（x）=x0 D．

【答案】B

【分析】通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数．

【详解】A.的定义域为,的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

B．f（x）=x和g（x）=的定义域和对应法则都相同，为同一函数,

C．f（x）=1的定义域为，g（x）=x0的定义域为，不是同一函数；

D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．

故选B ．

【点睛】本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．

4．下列命题中为假命题的是（    ）

A． B．是的必要不充分条件

C．设全集为R，若，则 D．集合与集合表示同一集合

【答案】D

【分析】A.根据指数幂的运算判断；B.根据充分性必要性的概念判断；C.根据韦恩图来判断；D.根据集合的元素性质判断.

【详解】A.，命题正确

B.由可得，不能推出，故充分性不满足；又时，必有，必要性满足，是的必要不充分条件，命题正确；

C.由图可知

当，有，命题正确；

D. 集合是点集，集合是数集，不是同一集合，命题错误.

故选：D.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，然后可选出答案.

【详解】

故选：B

6．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，命题“，”是真命题，分和两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【详解】由题意可知，命题“，”是真命题.

当时，则有，不合乎题意；

当时，由，可得，则有，

，当且仅当时，等号成立，

所以，.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数的单调性直接列不等式组，即可得解.

【详解】由函数在上单调递减，

可得，解得：，

故选：A.

8．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先利用奇函数定义与得出与同号，然后由奇函数定义求出（1），最后结合的单调性解出答案．

【详解】由奇函数可知，即与同号，

而（1），则（1），不合题意，

又在上为增函数，则奇函数在上也为增函数，

当时，（1），得，不满足；

当时，（1），得，满足，

当时，，得，不满足；

当时，，得，满足；

所以的取值范围是．

故选：．

【点睛】本题综合考查奇函数定义与利用单调性解不等式，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．

二、多选题

9．（多选题）已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.

【详解】由题得集合，

由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为，所以CD正确，B错误.

故选ACD.

【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质、作差法及取特值排除，可判断结论.

【详解】选项A: 时，即，所以选项A不正确；

选项B:，所以选项B正确；

选项C:若，不等式不成立，所以选项C不正确；

选项D:∵ ，∴，所以选项D正确.

故选；BD

11．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．命题“，使得”的否定是“，都有”

B．若不等式的解集为，则

C．当时，的最小值是5

D．存在a，使得不等式成立

【答案】ABD

【分析】A.根据特称命题的否定是全称命题来判断；

B.由二次不等式得方程的根，利用韦达定理来计算判断；

C.利用基本不等式来计算判断

D.利用基本不等式来计算判断

【详解】A.由根特称命题的否定是全称命题可得，命题“，使得”的否定是“，都有”，正确；

B.若不等式的解集为，则是方程的两根，则必有，解得，，正确；

C. 当时，，当且仅当，即时，等号成立，故，错误；

D.当时，，当且仅当时等号成立，故存在，使，正确；

故选：ABD.

12．定义一种运算：，设，则下面结论中正确的有（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．函数的图象与直线有三个公共点

C．函数的单调递减区间是和

D．函数的最小值是2

【答案】ACD

【解析】根据运算的定义，作出的图象，数形结合，对每个选项逐一分析即可.

【详解】由题意，，

作出函数的图象如图所示，

由图象可知，函数的图象关于直线对称，故A正确；

函数的图象与直线有四个公共点，故B错误；

函数的单调递减的区间是和，故C正确；

函数的最小值是2，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：本题解题关键是化简得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想.

三、填空题

13．已知幂函数，则________.

【答案】8

【分析】根据幂函数的定义求出参数m，进而求出函数值.

【详解】由题意，，所以，则.

故答案为：8.

14．函数(且)的图象经过一个定点，这个定点的坐标是_________.

【答案】

【分析】根据指数函数图象恒过点，再根据图象的平移变换即可求解.

【详解】因为指数函数图象恒过点，

向左平移一个单位可得，此时恒过点，

再向上平移一个单位可得，此时恒过点，

所以这个定点的坐标是，

故答案为：.

15．写出一个在上单调递增的偶函数__________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用二次函数的基本性质可得出结果.

【详解】函数为偶函数，且该函数在上单调递增，

故函数满足条件.

故答案为：（答案不唯一）.

四、双空题

16．高斯，德因著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学莫基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，则__________；当时，函数的值域为__________．

【答案】     ；     .

【分析】根据高斯函数的定义，结合题意，直接求解即可.

【详解】根据题意，；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

故当时，函数的值域为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知集合，.

（1）在①，②，③这三个条件中选择一个条件，使得，并求；

（2）已知，求实数的取值范围.

【答案】（1）条件选择见解析，答案见解析；（2）.

【分析】（1）根据所选条件验证是否成立，再利用交集的定义可求得；

（2）分析可得，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）若选①，则，此时，不合乎题意；

若选②，则，则，合乎题意；

若选③，则，则，合乎题意；

（2），则.

当时，，即满足条件；

当时，则有，解得.

综上，实数的取值范围是.

18．已知函数过点．

(1)求的解析式；

(2)求的值；

(3)判断在区间上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)

(3)在区间上单调递增；证明见解析

【分析】（1）直接将点的坐标代入函数中求出，从而可求出函数解析式，

（2）直接利用解析求解即可，

（3）利用单调性的定义直接证明即可

【详解】（1）∵函数∫过点，∴，

∴，得的解析式为：．

（2）．

（3）在区间上单调递增

证明：，且，有

．

∵，

∴．

∴，即．

∴在区间上单调递增．

19．已知函数.

（1）当时，求解关于的不等式；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）当时，得，求解一元二次不等式即可；

（2）对进行分区间讨论，分别求解.

【详解】解：（1），

可得不等式解集为

（2）令，解得.

若即时，原不等式的解集为，

若即时，原不等式的解集为，

若即时，原不等式的解集为；

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，不等式为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】思路点睛：解含参数的一元二次不等式的解法：

（1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；

（2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，在以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；

（3）如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行讨论.

20．已如定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数在上的解析式，并作出函数的大致简图；

（作图要求，①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；

(2)并根据图象写出函数单调区间（不用证明）；

(3)若不等式在上有解，求的取值范围．

【答案】(1)，作图见解析

(2)函数的单调递减区间为、，增区间为

(3)

【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求出函数在上的解析式，综合可得出函数在上的解析式，通过描点、连线，可得出函数的图象；

（2）观察图象，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（3）求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】（1）解：因为函数为上的奇函数，则，

当时，，

因此，，

列表如下：

作出函数的图象如下图所示：

（2）解：由图可知，函数的单调递减区间为、，增区间为.

（3）解：当时，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，

且，，即当时，，

由题意可知，存在，使得，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】（1）由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

（2）该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

22．定义在上的函数是单调函数，满足，且．

(1)求的值；

(2)判断的奇偶性，并证明；

(3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)；

(2)奇函数，证明见解析；

(3).

【分析】（1）通过赋值，即可容易求得结果；

（2）让替换，结合函数定义域以及，即可判断和证明；

（3）求得，结合函数单调性以及分离参数法，求解即可.

【详解】（1）根据题意可得，解得.

（2）为奇函数，证明如下：

因为定义域为，关于原点对称；

且，即，

故为奇函数.

（3）根据题意，，

即，故，

又为单调性函数，故为上的单调增函数；

则等价于，，

故，对于任意恒成立，

即，对任意恒成立.

令，又在单调递减，在单调递增，

故当时，取得最小值为，故，即的取值范围为.