2022-2023学年河南省南阳市第二中学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市第二中学校高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设集合.则阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据韦恩图可判断，阴影部分表示的是，首先求出集合、，再求出，最后根据补集的定义计算可得.

【详解】解：根据韦恩图可判断，阴影部分表示的是

故选：

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题.

2．假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将袋牛奶按进行编号，如果从随机数表第 行第列的数开始，按三位数连续向右读取.到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的袋牛奶的号码是（ ）(下面摘取了某随机数表第行至第行)

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】按照读取随机数表的方法得答案．

【详解】解：由图表可知，第行第列的数字是，则第一个数是，符合；

依次是：，，（剔除），（剔除），，（剔除），（剔除），（剔除），（剔除），．

故最先检验的袋牛奶的号码是，，，，．

故选：．

【点睛】本题考查简单的随机抽样，考查了随机数法，关键是会读取随机数表，属于基础题．

3．已知为实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件． D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分条件与必要条件进行判断.

【详解】解：，，

，

由得不到，故由得不到，充分性不成立；

由可以得到，故由可以得到，必要性成立；

所以“”是“”的必要不充分条件；

故选：

【点睛】本题考查必要条件和充分条件的定义及其判断，属于基础题．

4．已知（），（），则p，q的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式，求得，结合二次函数的性质，求得，即可求解.

【详解】因为，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，即，

又由，所以，

所以.

故选：A.

5．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.

【详解】函数的定义域为，

因为函数、在上均为增函数，所以f(x)为定义域上的增函数.

因为，，

所以，函数的零点在区间内，故函数的零点在区间内.

故选：B.

6．函数的图象大致是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，，，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D．

7．已知函数对任意，且，都有成立，若，，则之间的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得是增函数，再根据，即可求出答案.

【详解】由对任意，且，都有，可得是增函数，

再由，

所以，

所以.

故选：A.

8．设函数若有三个不等实数根，则的范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】把f（x）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．

【详解】作出函数f（x）=的图象如图，

f（x）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，

由图可知，b的取值范围是（1，10]．

故选A．

【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．

二、多选题

9．某地一年之内12个月的降水量分别为：56，46，53，48，51，53，71，58，56，56，64，66，则关于该地区的月降水量，以下说法正确的是（    ）

A．20%分位数为51 B．75%分位数为61

C．中位数为56 D．平均数为57

【答案】ABC

【分析】首先将数据从小到大排列，然后根据分位数的概率来判断A、B选项的正误，根据中位数及平均数的概念判断C、D选项的正误.

【详解】将数据从小到大排列得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；

共12个数据，

因为，所以分位数为第三个数据，即为，故A选项正确；

因为，所以分位数为，故B选项正确；

该组数据的中位数为，故C选项正确；

该组数据的平均数为，故D选项错误.

故选：ABC

10．下列命题是真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BC

【分析】选项A利用对勾函数即可判断；选项B取特殊值判断即可；选项C采用作差即可判断，选项D利用图象即可判断.

【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号），所以命题“，”为假命题，故选项A错误；

对于B，取或时，，所以命题“，”为真命题，故选项B正确；

对于C，因为，所以命题“，”为真命题，故选项C正确；

对于D，在平面直角坐标系中作出函数的图象，

观察图象可知：函数的图象总在直线上方，

即不存在正数使得成立，所以命题“，”为假命题，

故选项D错误，

故选：BC.

11．设函数=ln(x2-x+1)，则下列命题中正确的是（    ）

A．函数的定义域为R

B．函数是增函数

C．函数的值域为R

D．函数的图象关于直线x=对称

【答案】AD

【分析】求得对数型复合函数的定义域、单调性、值域以及对称性，即可判断和选择.

【详解】A正确，∵x2-x+1=>0恒成立，∴函数的定义域为R；

B错误，函数y=ln(x2-x+1)在x>时是增函数，在x<时是减函数；

C错误，由x2-x+1=可得y=ln(x2-x+1)≥，∴函数的值域为；

D正确，，故函数的图象关于直线x=对称.

故选：.

【点睛】本题考查对数型复合函数性质的求解，属综合基础题.

12．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．“x＞2”是“2x＞1”的充分不必要条件

B．函数过定点（1，1）

C．定义在（0，＋∞）上的函数满足，且，则不等式的解集为（0，3）

D．已知在区间（2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是[－4，4]

【答案】ACD

【分析】A选项利用2x＞1求出的范围，结合x＞2得到充分不必要条件；B选项利用对数性质直接求出对数恒过定点即可判断；C选项构建新函数，利用单调性解不等式；D选项把问题转化为二次函数在递减并且恒大于0，再结合二次函数图像性质即可判断.

【详解】对于A选项：结合2x＞1可得，可得出，而得不出，

所以是2x＞1的充分不必要条件，故A正确；

对于B选项：，当，，即过定点，故B错误；

对于C选项：不妨设，则，两边同时除以，

得，令，，则，所以在

单调递减，由变形，，即，

得，故C正确；

对于D选项：因为在区间（2，＋∞）上为减函数，由复合函数可知

只需要在恒成立并且令该二次函数

在单调递增即可，由二次函数图像可得，得，故D选项正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知:，用表示__________．

【答案】

【解析】根据对数的运算法则及对数的性质计算可得.

【详解】解：，，又，

故答案为：

【点睛】本题考查对数的运算及对数的性质，属于基础题.

14．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，________．

【答案】

【分析】根据函数是奇函数和时的解析式求解答案.

【详解】当时，，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，则.

故答案为：

15．不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，

结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.

【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，

当时，成立，符合条件；

当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；

当时，只需让，解得，

综上所述，a的取值范围为，

故答案为：

16．已知函数，若，且，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】作出函数的图象如下图所示：

由于，且，由图象可知，且，

则，，，

对于双勾函数，任取、，且，即，

，

，则，，，

所以，双勾函数在区间上单调递减，当时，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】解本题的关键在于分析出，并将问题转化为利用双勾函数的单调性求值域，考查学生的计算能力.

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）原式=.

（2）原式.

18．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

【答案】（1）；（2），；（3）．

【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：

x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分

(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分

因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，

设中位数为a，

由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5

得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分

(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，

月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，

月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，

月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分

抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分

【解析】频率分布直方图及分层抽样

19．已知集合，.

(1)若，求；

(2)求实数的取值范围，使___________成立.

从①，②，③中选择一个填入横线处求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)；

(2)选，或

选，或；

选，.

【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；

(1)根据(1)和补集的概念和运算求出和，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对应条件的参数.

【详解】（1），

，

当时，，所以；

（2）由(1)知，，，

所以或，或，

若选①，，则或，

解得或，所以的取值范围为或；

若选②，，则或，

解得或，所以的取值范围为或；

若选③，，则，

解得，所以的取值范围为.

20．已知函数，对任意的，，都有，且当时，．

(1)求证：是上的增函数；

(2)若，解不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）赋值法证明抽象函数单调性；（2）先根据，用辅助法求出，再利用第一问求出的函数单调性解不等式.

【详解】（1）由可得：，令，，且，则，因为当时，，所以，，即，由于的任意性，故可证明是上的增函数；

（2）令得：，因为，所以，故，由第一问得到是上的增函数，所以，解得：，故不等式解集为.

21．佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足台时，（万元）；当月产量不小于台时，（万元）．若每台机器售价万元，且当月生产的机器能全部卖完．

（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

【答案】（1）；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．

【分析】（1）由给定函数模型结合即可得解；

（2）分段讨论，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.

【详解】解：（1）当时，；

当时，．

∴；

（2）当时，，

当时，取最大值1200万元；

当时，，

当且仅当时取等号；

又，

所以当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．

答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元．

22．已知函数.

(1)当时，求该函数的值域；

(2)求不等式的解集；

(3)若于恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质求得函数在区间上的值域.

（2）结合一元二次不等式、对数不等式的解法来求得不等式的解集.

（3）利用换元法并分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.

【详解】（1）令，，则，

函数转化为，，

则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，

故当时，函数的值域为.

（2）由题得，令，则，即，解得或，

当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．

（3）由于对于上恒成立，

令，，则即在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为函数在上单调递增，也在上单调递增，

所以函数在上单调递增，它的最大值为，

故时，对于恒成立．