2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设全集，集合,，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解分式不等式化简集合，再根据交集的概念运算可求出结果.

【详解】由得且，

得，所以，

所以.

故选：A

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题从存在量词的否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.

故选：B.

3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合指数函数的单调性，利用中间值比大小

【详解】是增函数，因为，所以，故

因为是减函数，故，而

故

故选：D

4．函数f(x)＝的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先由函数的定义域排除CD，再由函数奇偶性排除B.

【详解】可得的定义域为，故CD错误；

又，则是奇函数，故B错误.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5．已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ）

A．［－1,0] B． C．［0,2] D．

【答案】B

【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解.

【详解】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，

所以．因为，所以．因为，

所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．

故选：B．

6．已知函数（且），若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可．

【详解】解：∵的值域为，时，

，

∴，时，，

∴，解得，

∴实数的取值范围是．

故选：D．

7．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题知函数的图像关于直线对称，进而根据对称性得可得，可得或，再解不等式即可.

【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数的图像关于直线对称，

因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，

因为，所以，

所以由可得，由可得或，

解不等式，可得或，解得或，

所以，不等式的解集为．

故选：B

8．已知，且，则（    ）

A．3 B．6 C．12 D．18

【答案】D

【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.

【详解】由得：，

由换底公式可得：，

则，

所以，

因为，

所以

故选：D

二、多选题

9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或

D．

【答案】AC

【分析】利用一元二次不等式的解集的特点，结合一元二次方程的韦达定理，对选项逐一分析即可.

【详解】对于A，由二次不等式解集的特点易知，故A正确；

对于B，因为不等式的解集为或，故或是方程的两个实根，

所以由韦达定理得，，即，

代入，得，即，解得，故B错误；

对于C，将代入，得，即，

因式分解得，解得或，故C正确；

对于D，因为，所以，故D错误.

故选：AC.

10．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用作差法根据已知条件逐个分析判断即可.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，

所以，所以A正确，

对于B，因为，所以，

所以，所以，所以B正确，

对于C，因为，所以，

所以

，所以，所以C正确，

对于D，因为

所以，所以，所以D错误，

故选：ABC

11．下列说法正确的是（    ）

A．“，”的否定是“，”

B．函数的最小值为6

C．函数的单调增区间为

D．的充要条件是

【答案】ACD

【解析】根据含全称量词、存在量词的命题的否定形式可判断A选项是否正确；

根据基本不等式及等号成立的条件可判断B选项是否正确；

利用复合函数单调性“同增异减”可判断C选项的正误；

构造函数利用单调性判断D选项是否正确．

【详解】对于A选项，由特称命题的否定形式可知，A选项正确；

对于B选项，若利用基本不等式有，等号不能成立，故B选项错误；

对于C选项，因为函数为递减函数，若递增时，只需使函数递减，且，解得，故C正确；

对于D选项，设函数，则函数上递增，在上也递增，故为上的单调增函数，所以时；当时，有. 故的充要条件是，D选项正确．

故选：ACD.

12．已知，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据二次函数的图象及性质即得.

【详解】令，则二次函数的图象与轴的交点为，

又，

所以是由的图象向下平移一个单位长度，且的图象与轴的交点为，

所以可知.

故选：CD.

三、填空题

13．函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是_________.

【答案】

【分析】令，可计算得，从而可得定点坐标.

【详解】当，即时，，

所以函数的图象过定点.

故答案为：

14．函数的单调递增区间是____________．

【答案】

【分析】由出定义域，然后由复合函数的单调性得结论．

【详解】，或，

是增函数，在上递减，在上递增，

所以的增区间是．

故答案为：．

15．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【分析】根据 “乘1法”可求 的最小值，进而求解即可.

【详解】由得，且 ，故，

当且仅当即时等号成立.

故问题转化为，解得，故实数m的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为_______．

【答案】

【分析】根据已知等式，结合函数的定义进行求解即可.

【详解】因为，所以，此时是一个函数；

因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有个；

因为，所以的值为其中一个，这样的函数共有，

所以符合条件的函数共有个，

故答案为：

四、解答题

17．求下列各式的值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用指数幂的运算法则直接计算得到答案.

（2）根据对数运算法则计算得到答案.

【详解】（1）原式；

（2）原式

.

18．已知集合

(1)当时，求出；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出,再求出得解；

（2）对集合分两种情况讨论，解不等式即得解.

【详解】（1）（1）当时， ,所以，

因为=或，

所以= 或.

（2）（2）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，，，

综上①②，.

19．（1）若命题“对任意实数，都有”为真命题，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）恒成立，即恒成立.分和两种情况讨论即可求解；

（2）原不等式可化为，因为二次项系数含有字母，且符号不确定，先按二次项系数等于零，大于零，小于零讨论，再讨论两根大小即可求解

【详解】（1）恒成立，即恒成立.

当时，，满足题意；

当时，知 即解得.

综上，实数的取值范围为.

（2）若，则原不等式可化为，解得.

若，则原不等式可化为，解得.

若，则原不等式可化为，

当，即时，解得或；

当，即时，解得或；

当，即时，解得或.

综上所述，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为，其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．

(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求的最小值．

【答案】（Ⅰ）有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）的最小值为1

【详解】试题分析：（Ⅰ）先由可得在水中释放的浓度再分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天；

（Ⅱ）先得出模型当时，，然后由基本不等式知，再由，解得，即的最小值为1 .

试题解析：（I）∵ ∴． 2分

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时． 4分

综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分

（II）当时，，9分

又 ， ，则．

当且仅当，即时取等号.

令，解得 ，故所求的最小值为1 ． 14分

【解析】1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用

21．对于函数，若存在，使得成立，则称为的不动点，已知函数的两个不动点分别是-2和1.

(1)求的值及的表达式；

(2)当函数的定义域是时，求函数的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据不动点可列方程求解 ，

（2）分类讨论定义域与对称轴的位置关系，结合二次函数的单调性即可求解.

【详解】（1）依题意得 ，即 ，

解得.

.

（2）①当区间在对称轴左侧时，即，也即时，在单调递增，则最大值为；

②当对称轴在内时，即也即时，的最大值为.

③当在右侧时，即时，在单调递减，则最大值为.

所以 .

22．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明在上为减函数；

（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1),；(2)证明见解析；(3)

【分析】（1）由求得；由求得；

（2）利用单调性的定义证明即可；

（3）根据奇函数和单调性脱去“”，得到关于的不等式恒成立，根据二次函数的性质即可求解的范围．

【详解】(1)∵为上的奇函数，

∴由得，

又得，

,；

(2)任取，且，则

，

∵, ∴，

∵ ，

∴，

即，

故为上的减函数；

（3）由得，

∵是奇函数,∴，

∵在上为减函数 ，

∴对恒成立，即恒成立，

当时显然不成立，

当时，满足，解得，

综上可得：．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，是中档题．