2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高一上学期12月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市第一中学校高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，则集合的非空子集个数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用列举法表示集合，确定集合中元素的个数，进而可求得集合的非空子集个数.【详解】，集合中共个元素，因此，集合的非空子集个数是.故选：C.2．设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为（    ）A．4 B．32 C．16 D．0【答案】C【解析】由，为正实数，满足，可得， ，利用基本不等式即可求解.【详解】由，为正实数，满足，可得， 所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为为．故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根据不等式的解得到，，，代入不等式解得答案.【详解】不等式的解集为，故，且，故，，带入不等式得到：，即，解得.故选：A.4．若函数的定义域是，则函数的定义域是A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再求函数的定义域．【详解】解：解：由函数的定义域是，得，所以，所以函数的定义域为，函数中，令，解得，所以函数的定义域是．故选D．【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，是基础题．5．已知定义域为的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】根据已知条件求出的对称轴，作出函数与在区间上的图象，由图象与图象对称轴相同，数形结合即可求解.【详解】因为满足，所以，所以的图象关于直线对称，令，则的图象关于直线对称，作出函数与在上的图象，由图知：与的图象在区间上共有个交点，且两两关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选：A．6．已知函数，且，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合的单调性、奇偶性化简不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以是偶函数，当时，是增函数，当时，是减函数，，所以，所以或，解得或，所以的取值范围是.故选：D7．已知，且是第一象限角，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合诱导公式与同角的三角函数关系，即可求解.【详解】根据题意，得，即，∵是第一象限角，∴，故.故选：A.8．若将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角函数图象平移变换法则，得出变换后的函数解析式，再求出函数图象的一个对称中心．【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再向右平移个单位，得的图象,令，，解得，；时，得函数图象的一个对称中心为，．故选：A 二、多选题9．下列命题中，是真命题的是（    ）A．B．C．至少有一个实数，使D．两个无理数的和必是无理数【答案】AC【分析】由判别式定理可判断A；由，，可知选项B是假命题；当时，成立，可知选项C是真命题；由于，所以选项D是假命题.【详解】选项A，因为，所以是真命题；选项B，当时，，故该命题为假命题；选项C，当时，成立，所以是真命题；选项D，由于，所以是假命题.故选：AC.10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AC【分析】根据不等式的解集以及韦达定理可知，可判断，进而解得不等式的解集以及不等式的解集，可得.【详解】因为不等式的解集为或，所以，A正确;方程的两根是，由韦达定理：得：，等价于，所以，B错误；不等式等价于，即，解得：或，C正确；因为，所以，D错误.故选：AC.11．关于函数，下列描述正确的有（    ）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则D．函数有且仅有两个零点【答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示.由图可得函数在区间上单调递增，A正确；函数的图象关于直线对称，B正确；若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.12．先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则关于函数，下列说法正确的是（    ）A．在上单调递增B．图像关于直线对称C．在上单调递减D．最小正周期为π，图像关于点对称【答案】ABD【分析】由题意，利用三角函数的图象变换，整理函数解析式，根据整体代入的方法可得答案.【详解】先将函数的图像向右平移个单位长度后，可得的图像，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则当时，，故单调递增，故A正确；当时，，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；当时，，此时不单调，故C不正确；由题意可得的最小正周期为π，当时，，故的图像关于点对称，故D正确，故选：ABD. 三、填空题13．设全集为，集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由交集不是空集得不等关系，从而求得参数范围．【详解】因为集合，集合，且，所以，解得，故答案为：．14．已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15．若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】当时，得到一次函数满足题意；当时，根据二次函数单调性可确定对称轴与区间的位置关系，从而构造不等式求得结果.【详解】①当时，    在上是单调递增函数，满足题意②当时，的对称轴为：若在上是单调函数，则或，解得：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数的单调区间求解参数范围的问题，易错点是忽略二次项是否为零的讨论，造成求解错误.16．已知，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】画出的图象，数形结合解决问题【详解】有两个零点，即有两个根，即函数与有两个交点，如图所示，显然，当或时，函数与有两个交点，符合题意故答案为： 四、解答题17．已知集合，集合或，.（1）求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出和,即可求出;(2)由A与B并集的补集是C的子集，即可求出a的取值.【详解】（1）由题知，；（2）由（1）得，又或，或，，而，要使，只需，故.【点睛】本题主要考查的是交、并、补集的混合运算;交集及其运算，是基础题.18．已知关于x不等式.(1)若不等式的解集为，求实数k的值；(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将不等式的解集问题转化为方程的根问题，利用韦达定理求出答案；（2）分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出实数k的取值范围.【详解】（1）由题意：，1是方程的两个实根，所以根据韦达定理：，解得：；（2）当时，不等式为，恒成立，符合题意；当时，若不等式解集为R，则，解得：综上所述：.19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元 【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.当时，；当时，.所以，（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；当时，，当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20．已知函数.(1)画出函数的图象，并写出的解析式；(2)设，（i）求出的零点，并直接写出函数的单调区间；（ii）若有四个不同的解，直接写出的取值范围.【答案】(1)函数的图象见解析；(2)（i）见解析（ii） 【分析】（1）根据题意求出分段函数的解析式，即可画出图象；（2）（i）令，可求出的零点，画出的图象，即可写出函数的单调区间；（ii）有四个不同的解，转化为与的图象有四个交点，观察图象即可得出答案.【详解】（1）因为，所以，函数的图象如下图所示：（2）（i）因为，图象如下图所示，令，可得，所以当时，，解得：；当时，，解得：；的零点为和.如图所示，在上单调递减；在，上单调递增.（ii）若有四个不同的解，即与的图象有四个交点，如下图所示，所以.的取值范围为：.21．已知函数，且．(1)求证：函数有两个不同的零点；(2)设，是函数的两个不同的零点，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据可得，再代入证明判别式大于0即可；（2）根据韦达定理化简可得，进而求得范围即可.【详解】（1）∵，∴．∴．对于方程，，∴恒成立．又，∴函数有两个不同的零点．（2）由，是函数的两个不同的零点，得，是方程的两个根．∴，．∴．∴的取值范围是．22．已知函数图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）求函数在，上的单调递减区间.【答案】（1），；（2）单调递减区间为，.【分析】（1）由最高点坐标求得，由周期求得；（2）利用正弦函数的单调性求减区间．【详解】解：（1）函数图象上最高点的纵坐标为2，，.且图象上相邻两个最高点的距离为，，.（2）对于，令，求得，故函数的单调减区间为，，，再结合，，可得函数在，上的单调递减区间为，.