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2023-2024学年河南省南阳市第一中学校高一上学期第二次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市第一中学校高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.
【详解】，
，即，
，
即
故选：A
2．下列各组函数是同一函数的是
①与；②f(x)=x与；
③与；④与．
A．②④B．③④C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据定义域与对应法则判断即可.
【详解】对于①，∵与（x≤0）对应关系不同，不是同一函数；
对于②，f（x）=x值域为R，，值域为，故不是同一个函数；
对于③f（x）=的定义域，=1的定义域，对应关系也相同，是同一函数，故正确．
对于④f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故正确．
故选：B
3．下列命题中，正确的是
A．若，则B．若，，则
C．若 ，，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.
【详解】对于A，取，则，但，故A错；
对于B，取，则，
但，，故B错；
对于C，取，则，
但，，故C错；
对于D，因为，故即，故D正确；
综上，选D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果.
【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
故选：D
5．定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】因为对任意的（），都有，所以在R上单调递增．因为，所以的解集为，则的解集为．
故选：C
6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据复合函数的单调性得到为减函数，且在区间上大于零恒成立，即可得到答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立.
所以.
故选：A
7．若，，且满足，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】由，可得.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
综上，.
故选：C
8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10．给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．函数的值域为，则函数的值域为
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．已知，则函数
D．函数在上为减函数，则实数的取值范围
【答案】BD
【分析】利用函数定义以及值域等可判断A错误，B正确；由换元法求函数解析式可知定义域错误，即C错误；利用分段函数单调性，结合一次函数、反比例函数性质列不等式即可得D正确.
【详解】对于A，根据函数定义可知，同一个函数的值域相同，
所以可得函数的值域为，则函数的值域也为，只是定义域不同，即A错误；
对于B，由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，即B正确；
对于C，令，则，故，
所以函数，且，即C错误；
对于D，由题意可得若函数在上为减函数，则，解得，所以D正确；
故选：BD
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
12．已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则有最小值B．若，则有最大值2
C．若，则D．若，则有最小值
【答案】BC
【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式的最值，注意取值条件，即可判断各项正误.
【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；
B：，当且仅当时等号成立，
即，可得，
所以有最大值2，对；
C：，则，
又，，则，可得，所以，对；
D：由题设，即，
当且仅当时等号成立，所以，错.
故选：BC
三、填空题
13． .
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解.
【详解】
.
14．函数的单调增区间为
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案.
【详解】由得，
因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
四、单空题
15．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果.
【详解】，
当时，，
令，则在上单调递增，，
，当时，恒成立，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知，，若任取，存在，使得，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】根据函数单调性可分别求得的值域，根据恒能成立的思想可得两函数值域的包含关系，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增，
，又，，，
在上的值域；
，在上单调递增，
当时，的值域；
任取，存在，使得，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
五、问答题
17．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
18．已知命题：，，命题：，使得.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离变量可得，由可构造不等式求得的取值范围；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，结合能成立思想可求得命题为真命题时的取值范围；分别讨论真假和假真的情况即可求得结果.
【详解】（1）若命题为真命题，则对恒成立，
又，，解得：，即实数的取值范围为.
（2）当时，（当且仅当，即时取等号），
若命题为真命题，则，即实数的取值范围为；
由（1）知：若命题为真命题，实数的取值范围为；
当真假时，；当假真时，；
综上所述：若命题和命题有且仅有一个真命题，则实数的取值范围为.
六、应用题
19．今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.
(1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）
(2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
七、问答题
20．已知函数.
(1)求与，与的值；
(2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
(3)求的值.
【答案】(1)），，，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；
（2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明；
（3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解.
【详解】（1）解：因为，故，，，.
（2）解：猜想：，
证明：∵对于任意的，都有
∴.
故.
（3）解：由（2）得，
故，，，
所以
.
八、证明题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)，
(2)减函数；证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
九、问答题
22．设函数，其中.
(1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可；
（2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，
令，解得，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”，
①当时，，，
由，得，从而此时；
②当时，，，
由得，
从而；
③当时，，，
由，得，
从而；
④当时，，，
由得，
从而此时；
综上可得，的取值范围为.
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集求出，根据并集计算即可.
【详解】，
，即，
，
即
故选：A
2．下列各组函数是同一函数的是
①与；②f(x)=x与；
③与；④与．
A．②④B．③④C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据定义域与对应法则判断即可.
【详解】对于①，∵与（x≤0）对应关系不同，不是同一函数；
对于②，f（x）=x值域为R，，值域为，故不是同一个函数；
对于③f（x）=的定义域，=1的定义域，对应关系也相同，是同一函数，故正确．
对于④f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故正确．
故选：B
3．下列命题中，正确的是
A．若，则B．若，，则
C．若 ，，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否.
【详解】对于A，取，则，但，故A错；
对于B，取，则，
但，，故B错；
对于C，取，则，
但，，故C错；
对于D，因为，故即，故D正确；
综上，选D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
4．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法可得的定义域为，结合根式和分母要求即可求得结果.
【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
故选：D
5．定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】因为对任意的（），都有，所以在R上单调递增．因为，所以的解集为，则的解集为．
故选：C
6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据复合函数的单调性得到为减函数，且在区间上大于零恒成立，即可得到答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
设，则为减函数，且在区间上大于零恒成立.
所以.
故选：A
7．若，，且满足，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】由，可得.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
综上，.
故选：C
8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D.
【详解】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC.
10．给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．函数的值域为，则函数的值域为
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．已知，则函数
D．函数在上为减函数，则实数的取值范围
【答案】BD
【分析】利用函数定义以及值域等可判断A错误，B正确；由换元法求函数解析式可知定义域错误，即C错误；利用分段函数单调性，结合一次函数、反比例函数性质列不等式即可得D正确.
【详解】对于A，根据函数定义可知，同一个函数的值域相同，
所以可得函数的值域为，则函数的值域也为，只是定义域不同，即A错误；
对于B，由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，即B正确；
对于C，令，则，故，
所以函数，且，即C错误；
对于D，由题意可得若函数在上为减函数，则，解得，所以D正确；
故选：BD
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A．在上是增函数B．是奇函数
C．的值域是D．的值域是
【答案】BC
【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD.
【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，
且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C错误，D正确.
故选：BC
12．已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．若，则有最小值B．若，则有最大值2
C．若，则D．若，则有最小值
【答案】BC
【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式的最值，注意取值条件，即可判断各项正误.
【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；
B：，当且仅当时等号成立，
即，可得，
所以有最大值2，对；
C：，则，
又，，则，可得，所以，对；
D：由题设，即，
当且仅当时等号成立，所以，错.
故选：BC
三、填空题
13． .
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算法则与性质求解.
【详解】
.
14．函数的单调增区间为
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案.
【详解】由得，
因为在上单调递增，在上单调递减，且在时单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
四、单空题
15．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果.
【详解】，
当时，，
令，则在上单调递增，，
，当时，恒成立，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．已知，，若任取，存在，使得，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】根据函数单调性可分别求得的值域，根据恒能成立的思想可得两函数值域的包含关系，由此可构造不等式组求得结果.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增，
，又，，，
在上的值域；
，在上单调递增，
当时，的值域；
任取，存在，使得，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
五、问答题
17．已知幂函数在上是减函数，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；
（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由函数为幂函数得，
解得或，
又函数在上是减函数，则，即，
所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
18．已知命题：，，命题：，使得.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离变量可得，由可构造不等式求得的取值范围；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，结合能成立思想可求得命题为真命题时的取值范围；分别讨论真假和假真的情况即可求得结果.
【详解】（1）若命题为真命题，则对恒成立，
又，，解得：，即实数的取值范围为.
（2）当时，（当且仅当，即时取等号），
若命题为真命题，则，即实数的取值范围为；
由（1）知：若命题为真命题，实数的取值范围为；
当真假时，；当假真时，；
综上所述：若命题和命题有且仅有一个真命题，则实数的取值范围为.
六、应用题
19．今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.
(1)写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）
(2)当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
七、问答题
20．已知函数.
(1)求与，与的值；
(2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
(3)求的值.
【答案】(1)），，，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；
（2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明；
（3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解.
【详解】（1）解：因为，故，，，.
（2）解：猜想：，
证明：∵对于任意的，都有
∴.
故.
（3）解：由（2）得，
故，，，
所以
.
八、证明题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)，
(2)减函数；证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
九、问答题
22．设函数，其中.
(1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，然后结合题意列不等式求解即可；
（2）将“对任意的，，都有”转化为“”，然后分、、和四种情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，
令，解得，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”，
①当时，，，
由，得，从而此时；
②当时，，，
由得，
从而；
③当时，，，
由，得，
从而；
④当时，，，
由得，
从而此时；
综上可得，的取值范围为.
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