2022-2023学年河南省南阳市第五中学校高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市第五中学校高二上学期第二次月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省南阳市第五中学校高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题
1．将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（　　）
A． B．4 C．1 D．
【答案】A
【分析】设直线l上任意一点，再根据题意可得也在直线上，进而根据两点间的斜率公式与直线的斜率相等列式求解即可.
【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为．
∵都在直线l上，∴直线l的斜率．
故选：A．
2．已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【答案】C
【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
可化为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距,
，
所以两个圆的位置关系是相交.
故选：C
3．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（　　）
A．9 B．10 C．18 D．20
【答案】C
【详解】首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，
因为，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是：20-2=18,选C.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

4．已知空间中三点，，，则（    ）
A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】D
【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角的定义，依次计算，即可得到答案；
【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误；
对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误；
对C，，，故C错误；
对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确；
故选：D
5．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】X的所有可能取值为1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因为，所以.
故选：A.
6．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
7．已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案.
【详解】由，结合正弦定理得，
因为，所以，．
又，即，
则，所以．
设，则，
又，则，解得，
所以，，
所以是正三角形，从而．
在中，由，
得，得，所以．
故选：C．
8．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
A．72 B．120 C．144 D．168
【答案】B
【详解】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种．选B.

9．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得结论．
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，

记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D，
设抛物线方程为，
由题意可知：，，，所以，
所以，代入抛物线方程可得，所以，
所以抛物线方程为，
又因为在抛物线上，所以，解得，所以，
所以，所以OA的高度为，
故选：B．
10．已知过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的值不可能为（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】设出直线PQ方程并与抛物线方程联立，利用根与系数的关系和抛物线定义结合均值不等式即可求出的范围．
【详解】抛物线C：的焦点，准线，
圆的圆心，半径1，设，
依题意，设直线PQ方程为：，
由，消去x并整理得：，
则有，，
，同理，
于是得，
（当且仅当，即时取等号）
所以的值只要不小于4即可取到，
则选项A不可能取到，选项B、C，D均可能取到．
故选：A
11．如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则错误的是（    ）

A．存在点，使点与点到平面的距离相等
B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行
C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为
D．异面直线与成角可以为
【答案】D
【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【详解】对A：连接，取其中点为，如下所示：

要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，
显然存在这样的点满足要求，故A正确．
对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足平面，证明如下：
取的中点为，连接，如下所示：

易得，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面平面，故平面；
又易得，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面，
又平面，故平面，故B正确；
对C：连接，如下所示：

因为，故面即为平面截正方体所得截面；
又，故该截面为等腰梯形，又，，
故截面面积，故C正确；
对D：因为，故与的夹角即为与的夹角（或其补角），
又当与重合时，取得最大值，为；
当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；
又点不能与重合，故，故D错误；
故选：D．

二、多选题
12．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，

则下列结论正确的是（    ）．
（附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A．
B．长度误差落在内的概率为0.6826
C．长度误差落在内的概率为0.1359
D．长度误差落在内的概率为0.1599
【答案】ABC
【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可．
【详解】由图中密度函数解析式，可得，A选项正确；
又由图像可知，
则长度误差落在内的概率为
，B选项正确；
长度误差落在内的概率为

，C选项正确；
长度误差落在内的概率为
，D选项错误；
故选：ABC.

三、填空题
13．两平行直线和间的距离是____________．
【答案】##
【分析】根据给定条件，利用平行间距离公式计算作答.
【详解】直线化为：，
所以直线和间的距离是.
故答案为：
14．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．
【答案】
【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即可．
【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜．
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为．
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为．
故答案为：．
15．如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．

【答案】
【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.
【详解】设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
故答案为：．

四、双空题
16．已知曲线的方程是，命题“曲线的图象既关于原点对称又关于轴对称”是_________命题（填“真”或“假”），若点在曲线上，则的最大值为_____．
【答案】     真     ##
【分析】利用对称性的定义可判断原命题的真假，化简曲线在第一象限内图象对应的方程，利用参数方程法结合三角恒等变换可求得的最大值.
【详解】在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为，
因为，即点在曲线上，
点关于轴的对称点为，
则，即点在曲线上，
因此，命题“曲线的图象既关于原点对称又关于轴对称”是真命题，
同理可知，曲线关于轴对称，
当且时，曲线的方程为，
由题意可知，曲线可将椭圆按照平移得到，
作出曲线的图形如下图所示：

设，当取最大值时，则直线在轴上的截距最大，
此时点在第一象限，设点，
由，可得，不妨取，
则，
因为，则，
故当时，取最大值.
故答案为：真；.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

五、解答题
17．如图，已知直四棱柱中，底面是菱形，，，是的中点，是的中点.

(1)求异面直线和所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合空间向量的数量积运算即可求解；
（2）由（1）中的坐标系先求出平面的法向量，再结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】（1）解：连结，使.因为底面是菱形，所以，
以为原点，的方向为轴､轴的正方向，以四棱柱上下底面的中心连线指向上底面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
设，由，底面是菱形，所以.
所以

，，，，
是的中点，是的中点
，，
，
设异面直线和所成角为，则
.
\异面直线和所成角的余弦值为.
（2）解：由（1）可得，
设平面的法向量为，则
，令，得，
由（1）知
设直线与平面所成角为，则
.
\直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知展开式的二项式系数和为512，．
(1)求的值；
(2)求系数绝对值即最大的项
(3)设，其中，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先根据二项式系数和求出，然后利用换元后进行处理；
（2）先表示出系数绝对值的表达式，通过研究该表达式的单调性进行处理；
（3）利用二项展开式将凑出含有的因式，结合带余除法求解.
【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得，设，于是，根据二项展开式的通项，为求，令，则
（2）展开式中第项的绝对值为，记，，令，解得，即时，；令，解得，即时，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大项为
（3）
，因为每一项都含有，故能被整除，记，而，根据带余除法可知，.
19．某班级50名学生的考试成绩分数X分布在区间内，设考试分数X的分布频率是且，考试成绩采用“5分制”，规定分数在的成绩记为1分，分数在的成绩记为2分，分数在的成绩记为3分，分数在的成绩记为4分，分数在的成绩记为5分．现从这50名学生中采用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分、3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽取3人，记者人的乘积之和为（将频率视为概率）．
(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求；
(3)求的分布列与数学期望.
【答案】(1)；
(2)
(3)分布列见解析；期望为7

【分析】（1）根据频率和为1计算出的值；利用各区间的中位数及频率可估算出平均数；
（2）先计算成绩为1分、2分、3分的频率，由此确定出成绩为1分、2分、3分的学生人数，再分析的可取值，即可求解；
（3）由（2）根据的可取值，然后计算出对应的概率，由此可求得布列，从而可求数学期望．
【详解】（1）解：因为，
所以，所以；
考试分数在，，，，，，，，，内的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，
销售量的平均数为（分；
（2）解：成绩为1分的频率为，成绩为2分的频率为，成绩为3分的频率为，
所以成绩为1分的学生抽取人，
成绩为2分的学生抽取人，
成绩为3分的学生抽取人，
；
（3）解：由（2）知，的可取值为：5，6，7，8，9，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

5
6
7
8
9







所以.
20．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，E是的中点，O是AC与BE的交点．将沿BE折起到的位置，如图（2）所示．

(1)证明:平面；
(2)若平面平面BCDE，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）先证平面，又，得平面；
（2）由已知得为二面角的平面角，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，面与面锐二面角为，由，即得平面与平面锐二面角的余弦值.
【详解】（1）在图（1）中，因为，，是的中点，，
所以
则在图（2）中，，，，
平面，平面，
从而平面，
又，所以平面．
（2）由已知，平面平面，平面平面，

又由（1）知，，，
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为，，
则，，
所以，，，，
得，，．
设平面的法向量，平面的法向量，锐二面角为，
则，得，取，
，得，取，
从而，
所以，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在内），并按照，，，，分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.

年龄/岁





频数
10
60
50
45
35

(1)估计粉丝年龄的平均数及游客年龄的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在内的人数为，求的分布列与期望.
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，数学期望

【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表结合平均数和中位数的定义求解即可；
（2）利用二项分布概率公式求分布列，进而求数学期望即可.
【详解】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知，
由游客年龄频数分布表知，
所以，解得.
（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，该粉丝年龄在内的概率为，
从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，该游客年龄在内的概率为，
由题可得的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3
4







.
22．设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)定点为，详见解析；
(3)，证明见解析.

【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）由题可得，设，联立抛物线方程，利用韦达定理法结合条件可得，进而即得；
（3）取，结合条件可得，然后证明对任意的点，直线也与圆相切，设，切线为，利用韦达定理法结合条件求出直线方程，计算圆心到直线的距离即得.
【详解】（1）∵当时，，
∴，
所以，
即抛物线的方程为；
（2）∵在第一象限且时，
∴，
设，，
由，可得，
则，
∵，
同理，又
∴，即，
∴，即，
所以，即
所以直线恒过定点；
（3）取，设的切线为，
则，即，
把代入，
解得，
直线，若直线与圆：相切，
则，又，
解得或（舍去），
下面证明过曲线上任意一点（除原点）作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切，
设，切线为，，
由，可得，
∴，
由，可得，
所以，
∴，即，
同理可得，
故，
所以直线，
所以圆心到直线的距离为
，
又，
∴，
综上，可得过曲线上任意一点，存在实数，使直线与圆相切.