2021-2022学年陕西省咸阳市礼泉县高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省咸阳市礼泉县高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数定义域求法，要使真数大于零解不等式即可.

【详解】由题意可知，是对数型函数，

所以其真数大于零，即

所以，，

即定义域为.

故选：C.

2．已知集合则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的并、补运算即可得出选项.

【详解】由题意，.

故选：A.

3．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断两个函数是否是同一函数只需要判断定义域和对应关系是否都相同即可.

【详解】已知的定义域为,选项A：定义域为，，与有相同的定义域和对应关系，故是同一函数；选项B：定义域为，，解析式不一样，故不是同一函数；选项C：定义域为，定义域不一样，故不是同一函数；选项D：，定义域为，定义域不一样，故不是同一函数.

故选:A

4．若函数是幂函数，则实数（    ）

A．0 B．1 C．2 D．1或2

【答案】C

【分析】根据幂函数的定义求解即可.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以，

解得，

故选：C.

5．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数的性质即可求得定点的坐标.

【详解】因为且，

所以令，则，，

所以过定点.

故选：C.

6．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据各选项中的函数，求出对应的函数的值域，结合可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；

对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；

对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；

对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.

故选：C.

7．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

8．已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性和的关系，即可得出答案.

【详解】解：当时，，则在上单调递增，

在定义域上单调递减，

对应的函数图像为B.

故选：B.

9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得.其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有的物体，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：）（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】列方程，根据对数的运算性质计算即可

【详解】解：由题意得，，

，

两边取自然对数得，，

所以，

故选：A

10．若，则实数的大小关系是（    ）

A． B． C． D．以上答案都不对

【答案】D

【分析】可化为，根据条件可分三种情况讨论，即，然后根据每种情况分析求出对应关系即可.

【详解】因为可化为，

当时，因为函数在上单调递增，所以，

所以，则，所以；

当时，，所以；

当时，因为函数在上单调递增，所以，

所以，则，所以，

故选：D.

11．已知函数，且函数的图像与的图像关于对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的对称性求出以及的解析式即可求解.

【详解】由函数，则关于对称的函数，

关于轴对称的函数，

，

，

，

所以.

故选：D

12．已知函数，若函数为偶函数，且，则使成立的的取值集合为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】先利用偶函数的性质和函数平移得出原函数对称轴，再根据已知得出开口方向，

并作出示意图，结合图像即可求解.

【详解】由函数为偶函数，图像关于轴对称，向右平移3个单位，得，

关于对称，又因为，所以二次函数开口向下，画一个示意图如图，

由二次函数的对称性可知，，当，由图像可知只需让，

即，

故选：B

二、填空题

13．若，则__________.

【答案】

【分析】用换元法或凑配法求函数解析式.

【详解】，令，则，∴，

所以.

故答案为：

14．已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则__________.

【答案】

【分析】根据时函数解析式,将代入即可求,根据奇函数代入即可求得.

【详解】解:由题知是定义在上的奇函数,

,

当时,,

,

.

故答案为:-1

15．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________.

【答案】##

【分析】分段函数在上单调递减，则满足在单调递减且在单调递减，同时.

【详解】若函数是上的减函数,

则满足在单调递减，则；在单调递减；

并且，即，综上

故答案为：

16．函数的图像与函数的图像的交点个数为__________.

【答案】2

【分析】作出两个函数的图像，由图像可得交点个数.

【详解】作出和的图像如图所示：

由图像可得函数的图像与函数的图像的交点个数为2个,

故答案为：2

三、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）（2）根据对数的运算性质以及幂指数和根式的运算法则即可求解.

【详解】（1）.

（2）

18．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入，再根据交集的定义求解即可；

（2）根据区间端点满足的条件，结合列式求解即可.

【详解】（1）当时，，

又.

（2）由，得，

又，故有，解得.

的取值范围是.

19．已知函数.

（1）求值，使得函数为奇函数；

（2）当时，判断函数的单调性，并根据定义证明.

【答案】（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由已知得函数的定义域为R，再由函数为奇函数，得，解之可得答案；

（2）当时，，此时在R上单调递增，任取，且，运用函数的单调性的定义作差，判断其符号，可得证.

【详解】（1）因为函数，所以函数的定义域为R，

若函数为奇函数，所以，解得，

检验时，，此时，

所以时，函数为奇函数；

（2）当时，，此时在R上单调递增，证明如下：

任取，且，则

，

因为，且，所以，，所以，

所以，

所以在R上单调递增.

20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

(1)求在上的解析式；

(2)设函数在上的最小值为，求的表达式.

【答案】(1) .

(2) .

【分析】(1)利用函数奇偶性，结合时的解析式，即可求得函数在时的解析式，即可得函数在上的解析式；

（2）讨论在时的图象的对称轴与区间的位置关系，即可得答案.

【详解】（1）若，则，则，

又为偶函数，，

故.

（2）由（1）知，当时，，

故当时，的图象开口向上，对称轴方程为，

当时，在上单调递增，；

当，即时，.

综上，.

21．推行垃圾分类以来，某环保公司新上一种把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.经测算该公司每日处理厨余垃圾的成本（元）与日处理量（吨）之间的函数解析式可近似地表示为每处理一吨厨余垃圾，可得到价值100元的化工产品的收益.

(1)求日纯收益（元）关于日处理量（吨）的函数解析式；（纯收益=总收益-成本）

(2)该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？

【答案】(1)

(2)该公司每日处理的厨余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.

【分析】(1)分别讨论，时，，即可得出函数解析式.

(2)由一次函数和二次函数的单调性求出最值进行比较，即可得出所求最大值.

【详解】（1）由题意可得

（2）当时，递增，可得的最大值为；

当时，，

当时，的最大值为1288.

，

该公司每日处理的厨余垃圾为24吨时，获得的日纯收益最大.

22．已知函数，且）在上的最大值为2.

（1）求a的值；

（2）若函数存在零点，求m的取值范围.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）根据对数函数的图象与性质，分类讨论，结合单调性求得函数的最值，即可求解.

（2）把函数g（存在零点，转化为关于x的方程有解，设，利用换元法求得函数的值域，即可求解.

【详解】（1）当时，函数在上单调递增，

因此，解得；

当时，函数在上单调递减，

因此，（舍去）.

综上可得，实数的值为.

（2）由（1）知函数，

因为函数g（存在零点，即关于x的方程有解，

设，

令，所以，即的值域为.

所以m的取值范围为.