2022届陕西省咸阳市礼泉县第一中学高三上学期期中数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省咸阳市礼泉县第一中学高三上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，2，3，4，，，4，，，，则（    ）

A． B．， C．，2，3， D．，2，4，

【答案】D

【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.

【详解】全集，2，3，4，，，，

，2，，

，4，，

，2，4，，

故选：D

2．已知（其中为虚数单位），则复数等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用方程的思想与复数的四则运算即可得解.

【详解】因为，则，

所以.

故选：A.

3．一个十字路口的交通信号灯，红灯､绿灯､黄灯亮的时间分别是30秒､40秒､5秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由长度型几何概型的概率公式求出遇见绿灯的概率.

【详解】解：一个十字路口的交通信号灯，红灯､绿灯､黄灯亮的时间分别是30秒､40秒､5秒，

则某辆车到达路口，由几何概型得遇见绿灯的概率.

故选：C.

4．已知椭圆上一点到其左焦点的距离为1，则的中点到坐标原点的距离为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由椭圆定义求得到右焦点的距离，由中位线定理得，从而可得结论．

【详解】易知椭圆的标准方程为．设椭圆的长轴长为，则，设椭圆的右焦点为，连接，

则由椭圆的定义得．在中，易知为的中位线，所以，

故选：B．

5．若命题p：函数（且的图像过定点，命题q：函数的值域为，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数过点可以判断命题p的真假，

由函数的值域可以判断命题q，

然后逐项判断命题的真假即可.

【详解】命题p:当时，，

函数过定点，所以p为真命题；

命题q：由,所以，

所以值域为：，

所以命题q为假命题，

选项A: p为真命题，q为假命题，

故为假命题，所以A错误；

选项B: p为真命题，q为假命题，

故为真命题，所以B正确；

选项C: p为真命题，为假命题，

故为假命题，所以C错误；

选项D: p为真命题，q为假命题，

所以为假命题，为真命题

故为假命题，

故选：B.

6．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的奇偶性及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

，即函数为奇函数，排除CD选项；

，排除A选项.

故选：B.

7．造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…如此对开至A8规格.若A4纸的面积为624cm2，则A8纸的面积为（    ）

A．39cm2 B．78cm2 C．4992cm2 D．9984cm2

【答案】A

【分析】由条件可得纸张的面积分别为，为等比数列，并且公比为，利用等比数列求A8纸的面积.

【详解】设纸张的面积分别为，，则为等比数列，公比，

，解得：.

故选：A

8．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数的二倍角公式化简，由计算函数周期，并根据正弦、余弦函数的单调性即可判断正误.

【详解】解：对于A，的周期，

当时，，

而在上单调递减，A选项错误；

对于B，的周期，B选项错误；

对于C，的周期，

当时，，

而在上单调递增，C选项正确；

对于D，的周期，

当时，，

而在上单调递减，D选项错误；

故选：C.

9．已知没有极值，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数与函数极值的关系可知，或恒成立，再结合二次函数的性质即可得解.

【详解】因为，所以，

因为没有极值，所以或恒成立，

又因为开口向上，

所以恒成立，即，

所以，整理得，解得，

所以.

故选：C.

10．已知双曲线与抛物线有共同的焦点，点到双曲线的渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】记双曲线的焦距为，根据题中条件，先求出，设双曲线方程为，得出渐近线方程，再由点到直线距离公式，根据，求出，，即可得出双曲线方程.

【详解】记双曲线的焦距为，

因为双曲线与抛物线有共同的焦点，其中，即，

所以可设双曲线方程为，则渐近线方程为，

又点到双曲线的渐近线的距离为2，

所以，即，则，所以，

因此双曲线的方程为.

故选：D.

11．已知：，，则p成立的一个充分不必要条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得对恒成立，利用二次函数的单调性求出

，结合充分不必要条件的定义即可得出结果.

【详解】因为，恒成立，

所以对恒成立，

又函数在上单调递增，所以，

故p：，即命题p成立的一个充分不必要条件是的一个真子集，

故选：B

12．若直线与曲线相切，则（    ）

A．为定值 B．为定值

C．为定值 D．为定值

【答案】D

【分析】利用导数的几何意义得到，从而求得切点，将其代入直线方程可得，据此解答即可.

【详解】设直线与曲线切于点，

因为，所以，

又因为直线的斜率，所以，

所以由得，则，所以切点为，

将切点代入直线方程得，即.

故选：D.

二、填空题

13．在等比数列中，若，则______.

【答案】

【分析】利用等比数列的性质求得，进而利用对数的运算性质即可求得结果.

【详解】因为是等比数列，

所以，

所以.

故答案为：.

14．已知，则与的夹角为________．

【答案】

【分析】直接由夹角公式计算即可.

【详解】设与的夹角为θ，则cos θ，所以.

故答案为：

15．把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.

【答案】##

【分析】利用反推法与三角函数图像变换得到的解析式，再计算即可.

【详解】由题可知，要得到，需将的图象，向左平移个单位长度，得到，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到，

所以.

故答案为：.

16．设是定义域为的奇函数，且.若，则______.

【答案】

【分析】先由的奇偶性与题设条件推得，从而证得是周期函数，进而利用的周期性与奇偶性求得.

【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，

又因为，所以，

所以，则是周期为的周期函数，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．一种配件的标准尺寸为，误差不超过均为合格品，其余为不合格品.科研人员在原有生产工艺的基础上，经过技术攻关，推出一种新的生产工艺.下面的表格分别给出了用两种工艺生产的20个配件的尺寸（单位：）：

(1)请将下面的列联表补充完整；

(2)根据所得样本数据判断，能否有的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异？

附：.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有

【分析】（1）根据题意，逐一辨析新旧工艺的合格品与不合格品的个数，从而完善列联表；

（2）结合（1）中列联表求得，从而通过查表得到结论.

【详解】（1）依题意得，合格品的尺寸范围为（单位：），其余为不合格品，

所以新工艺的合格品有18个，不合格品有2个；旧工艺的合格品有12个，不合格品有8个；

所以完整的列联表如下：

（2）由（1）得，，

所以有的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异.

18．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且，为上的点.

(1)求证：；

(2)若为中点，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件，利用线面垂直的判定定理，可证平面，再根据线面垂直的性质得证；

（2）利用换顶点方法，三棱锥的体积即为三棱锥，由于为中点，则可求出高，根据三棱锥体积公式求解即可.

【详解】（1）证明：平面，平面，

，

又底面是正方形，

，

而，平面，

平面，

平面，

.

（2）平面，为中点，

点到平面的距离，

.

19．已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.

(1)求B；

(2)若D为BC边的中点，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、辅助角公式化简已知条件，从而求得.

（2）利用余弦定理求得，进而求得三角形的面积

【详解】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得，

∵，∴，∴，

∴.

∵，∴.

∴.

（2）∵D为BC边的中点，，∴.

在中，由余弦定理得，

∴，

∴，解得或（舍去）.

∴.

20．已知等比数列的公比和等差数列的公差都为，等比数列的首项为2，且成等差数列，等差数列的首项为1.

(1)求和的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1).

(2)

【分析】（1）利用等差中项公式与等比数列的通项公式即可求得，从而求得；

（2）利用错位相减法即可求得.

【详解】（1）由题意可知，是等比数列，是等差数列，，

因为成等差数列，所以，即，

整理得，即，解得，

所以.

（2）由（1）得，

故，

则，

两式相减得：

，

故.

21．已知函数，其中e为自然对数的底数.

(1)求的单调区间：

(2)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)对函数求导，分和两种情况进行讨论，利用导函数的正负来判断函数的单调区间即可求解；

(2)结合（1）的结论，分三种情况进行讨论，根据条件和零点存在性定理即可求解.

【详解】（1）∵，∴，

当时，恒成立，

所以的单调递增区间为，无单调递减区间.

当时，令，得：令，得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上：当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）知.

当时，函数在区间上单调递增且，

所以函数在区间上不存在零点.

所以当时，在区间上单调递减且，

所以函数在区间上不存在零点.

所以当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增，

又∵，，

∴当，即时，函数在区间上不存在零点；

当，即时，函数在区间上存在零点.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线：与圆交于点，求线段的长.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）化为一般式方程，再根据计算即可得答案；

（2）联立极坐标方程得，设，进而根据计算即可.

【详解】解：（1）因为圆的方程为，故化为一般式方程得，，

因为，

所以.

（2）联立方程得，

设，

所以

所以

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分类讨论x的范围求的解集即可.

（2）由绝对值的几何意义可得，再讨论参数a求的解集，即可得的取值范围.

【详解】（1）当时，

令，则，而时，

不等式的解集为.

（2），且当时等号成立，当时，，得，则，

当时，，得，则.

综上，若，则的取值范围是.