2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】集合，集合，因此，.

故选：A.

2．函数的定义域为（    ）

A．(1，+∞) B．[1，+∞)

C．[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞)

【答案】D

【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可.

【详解】由题意，解得且．

故选：D．

3．函数，则时的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数复合函数的单调性求解不等式即可.

【详解】为减函数，

由可得，解得，

所以不等式的解集为，

故选：A

4．已知是上的奇函数，且当时，，则当时，的解析式是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】令，则，所以，又是上的奇函数，所以，故选D.

5．圆与圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．外切 C．相交 D．相离

【答案】B

【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.

【详解】由可得圆心为，半径，

由可得圆心为，半径，

所以圆心距为，

所以两圆相外切，

故选：B.

6．若函数f(x)=，则f(2)=（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据2的范围确定解析式，代入求值即可.

【详解】∵f(x)＝，∴f(2)＝f(2＋2)＝f(4)＝f(4＋2)＝f(6)＝6－3＝3.

故选：B.

7．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数奇偶性排除B选项，根据特殊点，排除C选项，根据分子和分母的增长速度排除A选项.

【详解】因为定义域为，且，所以是偶函数，排除B；又，排除C；当时，函数比增长得更快，故函数的大致图象为D选项.

故选：D

8．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：A

9．过原点和直线与的交点的直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出两直线的交点，从而可得所求的直线方程.

【详解】由可得，

故过原点和交点的直线为即，

故选：C.

10．下列条件中能推出平面平面的是（    ）

A．存在一条直线，，

B．存在一条直线， ，

C．存在两条平行直线，，，，，

D．存在两条异面直线，，，，，

【答案】D

【分析】A、B、C，画图举例判断；D.由面面平行的判定定理判断.

【详解】A.如图所示：，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；

B.如图所示： ，存在一条直线，，，但平面与平面相交，故错误；

C. 如图所示：，存在两条平行直线，，，，，，但平面与平面相交，故错误；

D.如图所示：，在平面内过b上一点作，则，又，且，所以，故正确；

故选：D

11．中国北斗导航系统是继美国GPS等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.北斗卫星由长征三号乙运载火箭送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音，声音的等级（单位：）与声音的强度（单位：）满足，火箭发射时的声音等级约为，两人交谈时的声音等级大约为，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【分析】结合对数运算求得，进而求得声音强度的倍数.

【详解】由，得，

所以火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的倍.

故选：C

12．一个空间几何体的三视图如图所示，三个视图都是外轮廓为边长是2的正方形，则其表面积等于（    ）

A．16 B．20 C． D．

【答案】D

【分析】先确定几何多面体的原图，再求表面积.

【详解】解：如图所示：

由题得，

过点G作,垂足为H

故

所以

所以多面体的表面积为：

故选：D

二、填空题

13．直线和直线之间的距离为______.

【答案】2

【分析】首先要将两条平行直线化为相同的形式，即方程与的系数分别相同，然后代入公式，来求两平行直线的距离.

【详解】将直线化为，故直线和直线之间的距离为.

故答案为：2.

14．函数的零点个数为________．

【答案】2

【分析】令，得到，即是，函数的零点个数就是方程的根的个数，分别做出方程两边的函数的图象，可以观察出交点的个数，即为零点的个数，得解.

【详解】令，得到，即是 ，函数的零点个数就是方程的根的个数，就是对数曲线与抛物线的交点个数.

如下图所示，由图象知：对数曲线与抛物线两个交点，所以函数有两个零点，

故填：2 .

【点睛】本题考查函数的零点的个数，关键在于令函数为零，整理对应的方程将方程的左右分别令成函数，在同一坐标系下做出这两个函数的图象，观察其交点个数，属于基础题.

15．在我国古代数学名著《九章算术·商功》中刘徽注解“邪解立方得二堑堵”.如图，在正方体中“邪解”得到一堑堵，为的中点，则异面直线与所成的角为______.

【答案】90°

【分析】由图形中直线的位置关系，将问题转化为求与所成的角，易得结果.

【详解】因为在正方体中，，

所以异面直线与所成的角等于与所成的角，

又因为为正三角形，且E为的中点，

所以，即与所成的角为，异面直线与所成的角为.

故答案为：.

16．在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是______.

【答案】##

【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，进而求得外接球的体积.

【详解】由于，所以，且直角三角形的外心在的中点处，

设外接球的半径为，则，

所以外接球的体积为.

故答案为：

三、解答题

17．已知直线：，点.

(1)求过点且与平行的直线方程；

(2)求过点且与垂直的直线方程.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）（2）根据直线平行垂直的性质，求出相应的斜率，运用点斜式直线方程求解.

【详解】（1）易知直线的斜率为，

设过点且与平行的直线的斜率为，则，

直线的方程为，即；

（2）易知直线的斜率为，

设过点且与垂直的直线的斜率为，

则，，

直线的方程为，即；

18．已知函数，.

(1)当时，求函数的值域；

(2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）判断出在上单减，在上单增，利用单调性法求值域；（2）

求出对称轴，利用在区间上是单调函数列不等式，即可求解.

【详解】（1）依题意，当时，，

所以在上单减，在上单增，

所以当时，取得最小值，且，

又，，

则函数的最大值为10，最小值为1，值域为.

（2）函数为二次函数，其对称轴为直线，

要使在区间上是单调函数，只需或，

解得：或，

则的取值范围为.

19．已知函数，其中是指数函数．

（1）求的表达式；

（2）解不等式：．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据指数函数的定义，有，结合求a，写出；

（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.

【详解】（1）是指数函数，所以，解得或(舍)，

∴.

（2）由（1）知：，

∴，解得，解集为.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：

(1)平面；

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得平面；

（2）通过证明平面来证得平面平面.

【详解】（1）如图，取的中点，连接，.

为棱的中点，，且.

又为棱的中点，且底面为正方形，

，且，

，且，

四边形为平行四边形，则，

又平面，平面，

平面.

（2）为棱的中点，，.

底面，平面，，

又，，平面，

平面，

平面，.

，平面，

平面.

平面，平面平面.

21．已知圆C过，两点，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的方程；

(2)若直线l过点且被圆C截得的线段长为，求l的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设圆C的圆心为，半径为r，结合题意得，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案．

（2）根据题意，分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：，由点到直线的距离公式求得k的值，即可得直线的方程，综合2种情况即可得答案．

【详解】（1）根据题意，设圆C的圆心为，半径为r，则圆C方程为，

又圆C过，，且圆心C在直线上，

∴，解得：，，，

故圆C的方程为．

（2）根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，则，

设D是线段MN的中点，则，

∴，．

在中，可得．

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，满足题意，

当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l为：，即．

由C到直线MN的距离公式：，解得：，

此时直线l的方程为．

综上，所求直线l的方程为或．

22．如图2，四边形为矩形，平面，，，作如图3折叠，折痕.其中点、分别在线段、上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积VM-CDE．

试题解析：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面ABCD；

又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，

∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，

又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；

∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，

=，

∴

【解析】空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，空间几何体的体积计算，逻辑推论证能力，运算求解能力