陕西省咸阳市礼泉县2022-2023学年高二数学（理）上学期期中试题（Word版附答案）

礼泉县2022-2023学年度第一学期中期学科素养评价

高二数学（理科）

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

2.若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ）

A.数列，，，…，…为等差数列

B.数列，，，…，，…为等差数列

C.数列为等差数列

D.数列为等差数列

3.已知，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

4.下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则等于（    ）

A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.

6.已知，，且，，，则，，三个数（    ）

A.都小于  B.至少有一个不小于

C.都大于  D.至少有一个不大于

7.设等差数列的前项和为，，，当取最小值时，的值为（    ）

A.11或12 B.12 C.13 D.12或13

8.已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是（    ）

A.4 B.2 C. D.

9.将某直角三角形的三边长各增加1个单位长度，围成新的三角形，则新三角形的形状是（    ）

A.锐角三角形  B.直角三角形

C.钝角三角形  D.由增加的长度确定的

10.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列。对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第15项为（    ）

A.94 B.108 C.123 D.139

11.已知（，），则的最小值是（    ）

A. B. C. D.

12.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ）

A. B. C.10 D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知3为，的等差中项，2为，的等比中项，则______.

14.设实数，满足约束条件则的最大值为______.

15.已知二次函数，且恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为______.

16.设数列是等比数列，且，，则数列的前15项和为______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知是等差数列，，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；

（Ⅱ）若等比数列满足，，求的通项公式.

18.（本小题满分12分）

已知（，）.

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）求的最小值.

19.（本小题满分12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）若，求.

20.（本小题满分12分）

已知，.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围..

21.（本小题满分12分）

在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）在下面三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长度.

①；②的周长为；③的面积为.

22.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且，，.

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若（），求实数的取值范围.

礼泉县2022～2023学年度第一学期中期学科素养评价

高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. A  2. C  3. B  4. D  5. D  6. B  7. D  8. C  9. A  10. B  11. A  12. D

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.    14.3    15.（答案不唯一）    16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

则.

∴，

.

（Ⅱ）设等比数列的公比为，

由，，可得，

∴的通项公式为.

18.解：（Ⅰ）∵，，∴，

∴，当且仅当，即，时，等号成立，

∴的最大值为.

（Ⅱ）∵（，），

∴，

当且仅当，即，时，等号成立，

∴的最小值为.

19.解：（Ⅰ）由余弦定理得，，

又∵，∴，

∴.

故的面积.

（Ⅱ）由正弦定理得，，

∴，

∴，

∴.

20.解：（Ⅰ）当时，不等式即，

即，解得，，

故不等式的解集为.

（Ⅱ）∵不等式对一切实数恒成立，

∴恒成立，

当时，不恒成立，不符合题意；

当时，显然不符合题意；

当时，，解得.

∴实数的取值范围为.

21.解：（Ⅰ）由正弦定理得，，∴，

又，∴，

又，，为的内角，，

∴（舍）或，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故不能选①.

若选②，由（Ⅰ）知，

设，则，

故周长为，解得.

从而，.

设中点为，则在中，

由余弦定理得，解得.

若选③，设，则，

故，解得，

从而，.

设中点为，则在中，由余弦定理得，

解得.

故边上的中线长为.

22.解：（Ⅰ）证明：由，得，

则，

又，

∴数列是以1未首项，2为公比的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，，

∴.

当时，满足上式，

∴数列的通项公式为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，数列是首项为1，公比为2的等比数列，

则，

由可得.

令，则，

则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，

又，，则的最大值为，

∴实数的取值范围是.