2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市礼泉县第二中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．在中，若,，则的外接圆面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理和三角形外接圆半径的关系可得外接圆半径，从而可求面积.

【详解】由得，所以外接圆的面积为.故选C.

【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，明确正弦定理和三角形外接圆半径的关系是求解关键.

2．已知数列 是公比为 的等比数列，若 ，则=（    ）

A．1 B． C．1或 D．1或

【答案】C

【分析】由已知直接计算即可得出.

【详解】由可得，即，解得或1.

故选：C.

3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.

【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，

第四个数即.

故选：C.

4．设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．与均为的最大值

【答案】C

【分析】由可判断B；由，分析可判断A；由可判断C；由，可判断D.

【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A正确；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的.

∵，，∴与均为的最大值，故D正确；

故选：C

5．二次不等式的解集为，则的值为（    ）

A． B．5 C． D．6

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解与方程根的关系求解即可.

【详解】不等式的解集为，

，

原不等式等价于，

由韦达定理知，，

，，

．

故选：D．

6．已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【详解】

，选C.

7．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于

A．7 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【详解】考虑特殊的交点再验证，由题设可能在

，运动变化的观念验证满足，则选B．

8．已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B． C．2022 D．4044

【答案】A

【分析】先判断函数是奇函数，再求出，再利用等差数列的前项和公式得解.

【详解】解：因为是奇函数，

因为，，所以，

所以，所以，

所以.

故选：A

9．若是的各边中线交点，，，分别是角，，的对边，若，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意分析可得是的重心，则，由平面向量基本定理得到，设，利用余弦定理可得到角.

【详解】是的各边中线交点，是的重心，，

，则有，

设，则，，则有，则，

故选：.

10．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化不等式为，分和两种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意和集合的表示方法，即可求解.

【详解】由题意，不等式，可化为，

当时，不等式解集为

要使得不等式的解集中恰有3个整数，则；

当时，不等式的解集为

要使得不等式的解集中恰有3个整数，则，

综上可得，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

11．已知数列的前n项和为，，对任意的都有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，可得，数列为常数列，令，可得，进而可得，利用裂项求和即可求解.

【详解】数列满足，对任意的都有，

则有，可得数列为常数列，

有，得，得，

又由，

所以．

故选：D

12．设分别为等比数列，的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，再根据得时的结果并联立方程得，再根据通项公式求解即可得答案.

【详解】解：设是公比为的等比数列，，

为公比为的等比数列，，

∵，

∴，

∴，即：，

，即：，

∴ 联立方程得：，解得：，

∴

故选：C.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前前项和公式，考查运算能力，是中档题.

二、填空题

13．已知为等比数列的前项和，，，则的值为______．

【答案】40

【分析】可结合等比推论也成等比数列直接求解

【详解】因为数列为等比数列，所以也成等比数列，

即也成等比数列，解得，，

即

故答案为：40

14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．

【答案】直角三角形

【分析】利用正弦定理或余弦定理化简即可.

【详解】方法一：

所以的形状是直角三角形.

方法二：

又

又

即

所以的形状是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

15．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________.

【答案】30

【分析】先用AB表示出BD和BC，再结合余弦定理即可求解.

【详解】由题意知：，设，则，

，即，解得或（舍去）.

故答案为：30.

16．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.

【答案】2

【解析】将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.

【详解】因为时，，所以，而，

所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.

又因为恒成立，即恒成立，所以.

由得，得，

所以，所以，即实数的最小值是2.

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：构造等差数列求出通项公式是本题的解题关键.

三、解答题

17．在数列中，，前n项之和为.

(1)若是等差数列，，求b的值；

(2)若是等比数列，，求b的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设的公差为d，根据题意求出首项和公差，即可得出答案；

（2）根据等比数列前项和公式求出公比即可得解.

【详解】（1）解：设的公差为d，则由已知可得：，

解得，

∴；

（2）解：若是等比数列，则公比为，

又，则，

则，，则，

故，解得.

18．在△中，，，为边上一点，且．

（1）求；

（2）若，求角的大小．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）由题设可得，再应用余弦定理求；

（2）在△中应用正弦定理可得，即可求，进而求并验证是否成立.

【详解】（1）在△中，由得：，，

由余弦定理得，即．

（2）在△中，，，，

由正弦定理得：，即，

∴，解得或．

当时，求得；当时，求得，均满足，符合题意，

∴或．

19．已知向量，，设函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设的内角，，所对的边分别为，，，且______，求的取值范围．

从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合降幂公式以及辅助角公式化简得，结合正弦函数的性质可得增区间；

（2）若选①，通过正弦定理以及“切化弦”思想可得，进而得，由正弦函数性质可得结果；若选②，通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得，余下同①；若选③，由余弦定理可得，进而得的范围，余下同①.

【详解】（1）因为，，

所以

由，得，

即函数的单调递增区间.

（2）若选①，

由正弦定理可得，

即，即，

由于，所以，解得，

由于，得，所以，

所以，得，

即的取值范围是.

若选②，

由正弦定理可得，即，

由于，所以，由于，得，所以，

所以，得，

即的取值范围是.

若选③，，成等比数列，即，

由余弦定理可得，

所以，

所以，得，

即的取值范围是.

 (1)写出y关于x的函数关系式；

(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

【答案】(1)

(2)线上直播x=150小时可使y最小为42万元

【分析】（1）通过求出系数，即可得结果；

（2）直接根据基本不等式即可得结果.

【详解】（1）由题得，当时，，则，

故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为

（2）由（1）知，

当且仅当，即时等号成立，

即线上直播150小时可使y最小为42万元.

21．已知函数，函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若，使，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）确定函数定义域为R，带入化简得到，令，则，解得答案.

（2），计算，题目转化为，根据对称轴讨论，，三种情况，计算最小值得到答案.

【详解】由可知的定义域为，

由，得.

令，则，解得，由得

所以不等式的解集为.

由题意，，有，所以.

因为，，有所以

，使，只要.

函数的图象为开口向上的抛物线，且它的对称轴方程为.

当时，，所以；

②当时，，所以；

当时，由，得所以.

综上所述，的取值范围为.

22．已知数列中，且.

（1）求，，并证明是等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），，证明见解析；（2）.

【解析】（1）在已知的数列递推公式中分别取，结合已知的首项即可求得的值，再把递推式两边同时减n即可证明是等比数列；

（2）由是等比数列求出数列的通项公式，代入，分组后利用错位相减法求数列的前n项和.

【详解】（1）由已知

，，，

即，

因为，

所以是以2为公比的等比数列.

（2）由（1）得，即，

所以，

设，且前项和为，

所以，    ①

，        ②

①－②得，

，

所以，

.

【点睛】该题主要考查的是等比数列的定义，数列的递推公式，错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.