江苏省南通市启东市长江中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南通市启东市长江中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．自新冠肺炎疫情发生以来，莆田市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图是（ ）
A．有症状早就医B．打喷捂口鼻
C．防控疫情我们在一起D．勤洗手勤通风
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么的取值范围是（ )
A．B．C．D．
5．如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，，则的值为（ ）
A．B．C．-13D．-5
8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为( )
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围是 _______．
12．计算：=__________________；
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是___________________________．
14．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，且的周长为，则的周长为___________．
15．如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是________．
16．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是___________．
17．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 _______．
18．如图，等边三角形和等边三角形的边长都是3，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为 _____．
三、解答题
19．（1）计算：
①
②．
（2）因式分解：
①；
②；
20．（1）解分式方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出；
(2)画出与关于轴对称的，请直接写出点，的坐标；
(3)求出的面积．
22．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．
23．如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°．
(1)求∠AFB的度数；
(2)若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数．
24．某服装销售公司准备从深圳利华服装厂购进甲、乙两种服装进行销售．若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元．公司根据顾客需求，决定在这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件；若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少多少件？
25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“快乐分式”.如：，则 是“快乐分式”．
(1)下列式子中，属于“快乐分式”的是 （填序号）；
① ，② ，③ ，④ .
（2）将“快乐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： = .
（3）应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
26．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、是轴对称图形，故C符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选C.
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．A
【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
【详解】解：、，是因式分解，符合题意．
、，是整式的乘法运算，故此选项错误，不符合题意；
、，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意；
、，不符合因式分解的定义，故此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，解题的关键是正确把握分解因式的定义，即分解成几个式子相乘的形式．
3．D
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
4．D
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出答案．
【详解】解：∵三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，
∴， 即a的取值范围是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系．掌握“用两条较短的线段相加，如果不大于最长那条线段就不能够组成三角形”是解本题的关键．
5．A
【分析】根据多边形的内角和公式和多边形外角和都是360°，列出方程即可求出结论．
【详解】解：由题意得（n﹣2）•180×＝360，
解得n＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式和多边形外角和都是360°是解决此题的关键．
6．A
【分析】根据全等三角形的判定：可得答案．
【详解】解：由题意，得，
A、三角形不全等，故A符合题意；
B、在与中，
，
，故B不符合题意；
C、在与中，
，故C不符合题意；
D、在与中，
，
，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．B
【分析】根据逆用同底数幂的除法，幂的乘方运算进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方运算，掌握其运算法则是解题的关键．
8．B
【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．
【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：
故选：B．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．D
【分析】证明得到，利用三角形的外角性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：在和中，
∴，
∴，
∵，又，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，证明是关键．
10．D
【分析】由已知分别计算的值，然后逆用完全平方公式：，将所求式子化成含、、的形式，再代入计算即可．
【详解】 a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，
，
又
=
=，
=
=3．
故选D．
【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练逆用完全平方公式将所求代数式化成三个完全平方式的和是解此题的关键．
11．
【分析】根据分式的分母不等于0时，分式有意义，列出不等式即可得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，．
故答案为．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，分母不为0”是解本题的关键．
12．-5
【分析】先运用负整数次幂、乘方、零次幂的知识化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
=3+（-8）×1
=3-8
=-5
故答案为-5．
【点睛】本题主要考查了负整数次幂、乘方、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
13．12
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=×AB×DE=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
△ADC的周长＝AD+AC+CD＝AC+BC＝9，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝15(cm)，
故答案为：cm．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．94°##94度
【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠C=47°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+94°，
则∠1﹣∠2=94°．
故答案为94°．
【点睛】本题考查了翻折变换，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质以及三角形外角的性质是解题的关键.
16．4或-6
【分析】依据完全平方式的结构特点列出关于m的方程即可．
【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，
∴，即
∴解得：m=4或m=-6，
故答案为：4或-6.
【点睛】本题主要考查的是完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题关键．
17．且
【分析】先解分式方程可得，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
18．6
【分析】连接，通过证明得到，即可确定当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，求解即可．
【详解】如图，连接，
∵等边三角形和等边三角形的边长都是3，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，
所以的最小值为：．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
19．（1）①；②；（2）①；②
【分析】（1）①先计算乘方，再合并同类项，即可求解；②利用平方差公式计算，即可求解；
（2）①先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；②利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．
【详解】解：（1）①
．
②
；
（2）①
；
②
．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，多项式的因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（1）；（2），12
【分析】（1）先去分母，再去括号，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”即可得到答案；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算得到化简的结果，最后把代入化简后的结果进行计算即可．
【详解】解：（1），
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
（2）
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握“解分式方程的步骤与方法以及分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)图见解析，，
(3)
【分析】（1）先在坐标系中描出、、，然后顺次连接、、即可；
（2）先根据关于轴对称的点的坐标特征描出、、关于轴对称的点、、，然后顺次连接、、，最后写出、的坐标即可；
（3）根据的面积等于其所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求，
，
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，画轴对称图形，坐标与图形—轴对称，三角形面积等等，熟知相关知识是解题的关键．
22．证明见解析
【分析】先证明∠DOC=∠BOA，再由边角边即可证明△AOB≌△COD．
【详解】解：由图可知：，
，
∵，
∴，
在和中： ，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键．
23．(1)∠AFB=87°；
(2)∠BAF=62°．
【分析】（1）利用三角形的外角性质计算即可；
（2）利用三角形内角和定理构建方程求出∠ABF即可解决问题．
【详解】（1）解：∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°，
∴∠AEB=60°，
∵∠CBD=27°，
∴∠AFB=27°+60°=87°；
（2）解：∵∠BAF=2∠ABF，∠AFB=87°，
∴3∠ABF=180°-87°，
∴∠ABF=31°，
∴∠BAF=62°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24．（1）每件甲种服装的进价是元，每件乙种服装的进价是元．（2）该该服装销售公司本次购进甲种服装至少件．
【分析】（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x-50）元，根据关键语句“用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍”可列方程求解；
（2）设购进甲种服装a件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润7160元，根据不等关系列出不等式，求出解集，即可确定答案．
【详解】解：（1）设每件甲种服装进价元，每件乙种服装进价元，根据题意得，
，
解得x=200，
经检验x=200是原分式方程的解，
x-50=150．
答：每件甲种服装的进价是元，每件乙种服装的进价是元．
（2）设该服装销售公司本次购进甲种服装件，则购进乙种服装（2a+4）件，根据题意可得，
，
解得，
为正整数，
的最小整数值为．
答：该该服装销售公司本次购进甲种服装至少件．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
25．(1)①②③；（2）；（3），x=-3
【分析】（1）根据快乐分式的定义分析即可；
（2）根据快乐分式的定义变形即可；
（3）先化简，再根据快乐分式的定义变形，然后再根据x的值和分式的值为整数讨论即可.
【详解】解：（1）①，是快乐分式 ，
② ，是快乐分式，
③ ，是快乐分式，
④ 不是分式，故不是快乐分式.
故答案为①②③ ；
(2) 原式= = ；
（3）原式=
= =
= =
∵当或 时，分式的值为整数，
∴x的值可以是0或或1或，
又∵分式有意义时，x的值不能为0、1、，
∴
【点睛】本题考查了新定义运算，以及分式的混合运算.熟练掌握运算法则及快乐分式的定义是解本题的关键.
26．（1）∠CMQ＝60°不变．理由见解析；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）∠CMQ＝120°不变．理由见解析．
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；
（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ＝120°．
【详解】（1）∠CMQ＝60°不变．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°．
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP＝BQ．
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
∴∠BAQ＝∠ACP．
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t秒，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝．
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝．
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边△ABC中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°．
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴BP＝CQ．
∴△PBC≌△QCA（SAS）．
∴∠BPC＝∠MQC．
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．
【点睛】本题为三角形的综合应用，等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．