精品解析：江苏省南通市海安市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

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考生在答题前请认真阅读本注意事项
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符．
4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 观察下面网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：图中的两个三角形全等，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3. 若点，关于x轴对称，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出，的值，从而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，需要牢记，难度适中．
4. 下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行分析即可．
【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意；
B、当时，变形错误，不符合题意；
C、，原变形错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．
5. 把多项式因式分解时，提取的公因式是，则n的值可能为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用提公因式法，即可解答．
【详解】解：把多项式因式分解时，提取的公因式是，则：n≥5，
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．
6. 如图，中，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（ ）
A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形中，由与度数，利用三角形的内角和定理求出的度数，再由折叠的性质得到，而为的外角，利用三角形的外角性质即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
∴，
由折叠可得：，
又∵为的外角，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键
7. 已知：，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，求出、、的值，再比较即可．
【详解】解：，，，
．
故选C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂和零指数幂．掌握各运算法则是解题关键．
8. 如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵S△ADB= AB×DE= ×5×2=5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9-5=4，
∴AC×DF=4，
∴AC×2=4，
∴AC=4
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和三角形ADC的面积．
9. 如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（ ）
A. B. 5C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质能推出，即可得出答案．
【详解】解：周长，，
，
，
，
，
又垂直平分，
，
，
即，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10. 已知，，且，则的值为( )
A. 7B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】两式相减，由平方差公式求出，两式相加，由完全平方公式即可求出的值．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是掌握平方差公式，完全平方公式．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 分式有意义的条件是______．
【答案】a≠1
【解析】
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】解：由有意义，得
a﹣1≠0，
解得a≠1
有意义的条件是a≠1，
故答案为：a≠1．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键．
12. 如图，已知，若以“”为依据证明，还需要添加的条件是________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，对顶角，若以“”为依据证明，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题．
【详解】解：，，
添加条件，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据单项式与单项式的乘法法则计算即可．
【详解】，
故答案为．
【点睛】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．
14. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16. 如图，，且点在上，，则度数为______．

【答案】##度
【解析】
【分析】先根据全等三角形的性质得出，，由可得出，由等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：，，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
17. 如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想的展开式中含项的系数是________．
【答案】15
【解析】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到含项的系数．
【详解】解：根据题意得：，
，
∴的展开式中含项的系数是15．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．
18. 如图，在中，，点E为射线上的动点，，且．当的值最小时，的度数为_____．

【答案】##度
【解析】
【分析】过点D作于点F，如图，则可求出，过点D作直线，则点D在直线l上运动，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则当三点共线时，最小，即此时最小；证明四边形为矩形，得到，进而证明，得到．求出，．
【详解】解：过点D作于点F，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，

∴点D到直线的距离等于定值1．
过点D作直线，则点D在直线l上运动，
作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴ ，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键.
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答；
（2）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了整式的除法，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解方程：．
【答案】（1），2（2）
【解析】
【分析】（1）先把分子分母进行因式分解，然后再进行分式的除法运算，最后代入值求解即可；
（2）先去分母，然后再进行求解方程即可．
详解】解：（1）
，
把代入，；
（2），
解：原方程化为：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原方程的根．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分式方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及分式方程的解法是解题的关键．
21. 如图，，，，垂足分别为，，．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】先通过等量代换得出，然后利用HL证明，则结论可证．
【详解】证明：，，垂足分别为，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
22. 如图，在中，，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，．

（1）求的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和为及角平分线的定义即可得出答案；
（2）根据角平分线定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
平分，平分，
，
；
【小问2详解】
解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，，
，
，，
，
的周长．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23. 某列车平均提速．用相同的时间，该列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，求提速前该列车的平均速度．
（1）设提速前该列车的平均速度为，补全表格；
（2）列出方程并解答．
【答案】（1）①，②
（2）提速前该列车的平均速度为．解答过程见解析
【解析】
【分析】（1）设提速前该列车的平均速度为，根据列车平均提速，即可得到提速后速度，根据路程除以速度等于时间即可得到提速后行驶的时间，即可补全表格；
（2）根据时间相等结合表格即可得到方程，解方程并检验即可得到解答．
【小问1详解】
解：设提速前该列车的平均速度为，
∵列车平均提速，
∴提速后速度为，
∴提速后行驶的时间为，
补全表格为：
【小问2详解】设提速前该列车的平均速度为，根据时间相等得到方程，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：提速前该列车的平均速度为．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确表示各个量是解题的关键．
24. 如图，中，，，于，平分分别与，交于点，．

（1）求证：是等边三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）由，可得，根据平分得，根据，，得，即可得是等边三角形；
（2）可得，则，由（1）知是等边三角形，得，由此可得的长．
【小问1详解】
证明：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
【小问2详解】
解：，，
，
，
由（1）知是等边三角形，
，
，
，
由（1）知，．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
25. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，．
（1）理解应用：方程的解为：______，______；
（2）知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值．
【答案】（1）3，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）类比题目中的例子可得或；
（2）由题意可得，再由完全平方公式可得；
（3）方程变形为，根据，得方程，求解即可．
【小问1详解】
解：的解为，，
的解为或，
故答案为：3，；
【小问2详解】
解：，
，，
；
【小问3详解】
解：可化为，
，
，
．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．
26. 【了解概念】
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”．
【理解运用】
（1）如图1，为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，试判断的形状，并说明理由；
【拓展提升】
（2）在中，，E为外一点，连接，若和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”．
①如图2，若点在直线异侧，连接，求的度数；
②若点E为平面内一点，满足，请直接写出点A到的距离．

【答案】（1）是直角三角形，理由见解析（2）①②6或3
【解析】
【分析】（1）结论：是直角三角形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可；
（2）①过点A作交的延长线于点H，于点T，证明，推出，可得平分，即可解决问题；
②分两种情形：当点E在的下方时，如图2中，当点E在的上方时，如图3中，过点A作交的延长线于点H，于点T．
【详解】解：（1）结论：是直角三角形．
理由：为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
（2）①过点A作交的延长线于点H，于点T．

和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”，
，都是直角三角形，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
平分，
；
②当点E在的下方时，如图2中，
∵四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，即点A到的距离为6．
当点E在的上方时，如图3中，过点A作交的延长线于点H，于点T．

同法可证，四边形是正方形，
，
，
∴AT=3，即点A到的距离为3．
综上所述，点A到的距离为6或3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．路程
速度
时间
提速前
200
x
提速后
①
②
路程
速度
时间
提速前
200
x
提速后