八年级下册初中数学尖子生同步培优专项训练解答题压轴题

解答题压轴题训练（三）

（时间：60分钟  总分：100）      班级            姓名              得分     

解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。

（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。

对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。

①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。

②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。

③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。

④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。

一、解答题

1．已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．

（1）若正方形的边长为10，点在边上．

①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

②若是正方形的内等边三角形，连接，则线段长的最小值是_____，线段长的取值范围是______；

（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，画出和，

点按逆时针方向排序，连接．找出图中与线段相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．

【答案】（1）①见详解；②5，5≤DF≤10；（2）见详解

【分析】

（1）①通过作AD的中垂线，确定点E，再以点A，点E为圆心，AE长为半径画弧，两弧交于点F，连接EF，AF，即△AEF是内等边三角形；

②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；

（2）根据题意画出图形，分别证明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，进而即可求解．

【详解】

解：（1）①如图所示，△AEF是内等边三角形；

②∵△AEF是等边三角形，

∴∠EAF＝60°，

∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，

∴当BF⊥AF时，BF有最小值，

此时，∵∠FAB＝∠DAB−∠EAF＝30°，

∴BF＝AB＝5，

∴BF的最小值为5，

当DF⊥AF时，DF有最小值，

此时，∠ADF＝30°，

∴AF＝AD＝5，DF=，

当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，

∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，

故答案为：5，5≤DF≤10；

（2）和如图所示：

∵是等边三角形，

∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，

∵边AM的长最大，

∴点M在DC上，点N在BC上，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，

∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），

∴BN=DM，

∵和是等边三角形，

∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，

∴∠DAM=∠PAN，

∴△ADM≌△APN（SAS），

∴DM=PN，

∴NP=DM=BN，即：与线段相等的线段有BN，DM．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形．

2．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．

（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．

（2）当射线PE与边AB交于点Q时，

①请直接写出AQ长的取值范围：　   ；

②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t=2；（2）①12≤AQ≤20；②存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．

【分析】

（1）先证明∠APD=∠EPA=∠PAB，得AB=PB=20，根据勾股定理得PC=16，由PD=4=2t，可得结论；

（2）①分别计算两个边界点：由（1）知：t=2时，AQ=20，当AQ最小时，PQ⊥AB，此时AQ=12，可得结论；

②分两种情况：点E在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．

【详解】

（1）如图1，

∵AB∥CD，

∴∠DPA=∠PAB，

由轴对称得：∠DPA=∠EPA，

∴∠EPA=∠PAB，

∴BP=AB=20，

在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC==16，

∴PD=4=2t，

∴t=2；

（2）①由（1）可知：当t=2时，Q与B重合，此时AQ=AB=20，

如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ=AD=12，

∴12≤AQ≤20，

故答案为：12≤AQ≤20；

②存在，分两种情况：

当点E在矩形ABCD内部时，如图3，

∵QE=PQ﹣PE=PQ﹣DP=PQ﹣2t，

∵QE=QB，PQ=AQ，

∴QB=AQ﹣2t，

∵AQ+BQ=AB=20，

∴AQ+AQ﹣2t=20，

∴AQ=10+t，

在Rt△EQA中，AQ=10+t，QE=AQ﹣2t=10-t，AE=12，

∴，

解得：t=3.6；

当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，

∵QE=PE﹣PQ=DP﹣PQ=2t﹣PQ，

∵QE=QB，PQ=AQ，

∴BQ=2t﹣AQ，

∴AB﹣AQ=2t﹣AQ，

∴AB=2t，

∴t==10（此时P与C重合），

综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．

【点睛】

本题考查了四边形综合题、矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．

3．如图，直线l1：y＝x＋3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．

（1）求直线l2的解析式；

（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．

（3）在x轴上是否存在点P，使以B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣2x＋6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）；（3）存在，P1 （5，0），P2 （1，0），P3（，0）， P4（，0）

【分析】

（1）把点C的坐标代入y=x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；

（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．

（3）没有指出等腰三角形三角形的腰或底边，所以应该分3种情况进行讨论：PC=BC，PC=BP、BC=BP．由两点间的距离公式求得相关线段的长度，从而求得符合条件的点P的坐标．

【详解】

（1）把（1，m）代入y＝x＋3得m＝4，

∴C（1，4），

设直线l2的解析式为y＝kx＋b，

代入（1，4），（3，0）得

∴，

 解得，

∴直线l2的解析式为y＝﹣2x＋6；

（2）在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，

设M（a，a＋3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a＋6），

MN＝|a＋3﹣（﹣2a＋6）|＝|3a﹣3|，

∵MN＝AB，

∴|3a﹣3|＝6，

解得a＝3或a＝﹣1，

∴M（3，6）或（﹣1，2）．

（3）如图2，

∵B（-3，0），C（1，4）．

∴BC=．

设P（x，0），

当PC=BC时，此时点P与点B关于直线x=1对称，则P1（5，0）；

当PC=PB时，．

解得 x=1．

此时P2（1，0）；

当BP=BC时，，

解得或．

此时P3（，0），P4（，0）．

综上所述，符合条件的点P的坐标是P1 （5，0），P2 （1，0），P3（，0），P4（，0）．

【点睛】

本题考查了两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．

4．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过（0，4），（10，﹣4）两点，与x轴交于一点A，与y轴交于点B．

（1）求这条直线的解析式；

（2）求出三角形AOB的面积；

（3）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？

（4）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标．

【答案】（1）；（2）10；（3）x＜5时，y＞0；x＞5时，y＜0；（4）P（，0）或（5﹣，0）或（5＋，0）或（﹣5，0）

【分析】

（1）根据待定系数法求得即可；

（2）先求得A点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得；

（3）观察图象即可求得；

（4）根据题意，分三种情况：①当PA＝PB时；②当AP＝AB时；③当BP＝BA时；然后根据等腰三角形的性质，求出符合条件的P点坐标即可．

【详解】

解：（1）设直线的解析式为y＝kx＋b，

把（0，4）（10，﹣4）代入得，

解得，

所以直线的解析式是；

（2）当x＝0时，y＝4，

当y＝0时，，解得x＝5，

所以A（5，0），B（0，4），

所以S△AOB＝；

（3）由图象可知当x＜5时，y＞0；当x＞5时，y＜0；

（4）①如图1，

，

当PA＝PB时，设P（x，0），则AP＝BP=5﹣x，

在Rt△PBO中，OP2＋OB2＝PB2，

∴x2＋42＝（5﹣x）2，

解得x＝，

∴P点的坐标是（，0）．

②如图2，

，

当AP＝AB时，

∵，

AP＝AB

∵A点的坐标是（5，0），

∴P点在A点左侧时，坐标是（5﹣，0），

P点在A点右侧时，坐标是（5＋，0）．

③如图3，

，

当BP＝BA时，

∵BO⊥AP,

∴OA=OP,

∵A点的坐标是（5，0），

∴P点的坐标是（﹣5，0）．

综上，当△PAB为等腰三角形时，P点坐标的坐标是（，0）或（5﹣，0）或（5＋，0）或（﹣5，0）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点坐标，等腰三角形存在性问题，解题关键是对△PAB的边进行分类讨论，根据腰相等列方程．

5．已知(均为实数)，则的最大值与最小值之差为______.

【答案】．

【分析】

将根据题意，，原式两边同时平方，可得，故，进而即可求得最大值与最小值之差.

【详解】

，，，

．

，

．

的最大值与小值的差为．

【点睛】

本题考查了二次根式的求值问题，解本题的关键是通过y2为媒介求得y的取值范围从而找出最大最小值.

6．阅读下列两则材料，回答问题：

材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为,所以构造“对偶式”相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：已知,求的值．

解：

材料二：

如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离.

例如：

所以可将代数式的值看作点（x，y）到点

（1，－1）的距离．

（1）已知方程，其中x≤4.利用材料一：

①直接写出代数式的值：　　

②解关于x的方程，其中x≤4．

（2）利用材料二，

求代数式的最小值,并求出此时y与x之间的函数关系式，写出x的值范围.

【答案】（1）① 8；②x=－5 ；（2）

【分析】

（1）①根据材料中给出的信息,利用“对偶式”的性质得,再代入即可求解,②在上一问的基础上设m=，n=，建立二元一次方程组求解即可,（2）将所给代数式利用完全平方公式进行化简整理,再转换成两点之间的距离公式进行求解即可.

【详解】

解：（1）①∵

∴

②,

令m=，n=，

则解得：

当=5或=3,

解得：x=－5

（2）根据材料知：

所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，－8）的距离与点（x，y）到点（－2，2）的距离之和.

当代数式取最小值时,即点（x，y）与点（1，－8），（－2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，－8），（－2，2）的中间，

∴的最小值

＝

＝

且－2≤x≤1

设过（x，y），（1，－8），（－2，2）的直线解析式为：y=kx+b则

解得：

∴

【点睛】

本题考查了两点之间的距离公式,根式的实际应用,难度较大,要求学生认真审题,明确对偶式的实际含义,理解两点之间的距离公式的含义是解题关键.

7．如图1，在等边中，为边上一点，于点，为等边三角形．

（1）能否由通过某种变换而得到，写出你的结论并说明理由；

（2）延长交于点，为中点，求证：；

（3）如图2，若，直接写出的值为_________．

【答案】（1）由绕点逆时针旋转60°得到，理由见解析；（2）见解析；（3）6

【分析】

（1）先判断出∠BAH＝∠CAE，进而得出△ABH≌△ACE，即可得出结论；

（2）过C点作CM//BD交EF延长线于D点M，证明△BFH≌△CFM（AAS），得出F为BC的中点，所以NF为△ABC的中位线即NF=AC，直角△ABH中，由斜边的中线等于斜边的一半，得出NH=AB，即可得出结论；
（3）设出CG＝a，利用含30度角的直角三角形DG，CD，进而得出AD＝4a，得出BC＝AB＝AC＝6a，再用勾股定理建立方程表示出DH，BH，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵△ABC和△AHE都为等边三角形，
∵AB＝AC，AH＝AE，∠BAC＝∠HAE＝60°，
∴∠BAH＝∠CAE，
在△ABH和△ACE中，
，

∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴△ACE由△ABH绕点A逆时针旋转60°得到；

（2）如图，过C点作CM//BD交EF延长线于D点M，

由（1）得：△ABH≌△ACE，

则∠AEC＝∠AHB=90°，CE=BH，

∴∠AEH＝60°，

∴ ∠MEC＝30°，

又∵∠BHM＝30°=∠MEC=∠FMC，

∴ MC=EC=BH，

∴ △BFH≌△CFM（AAS）

∴ FB=CF，即F是BC的中点，

又∵N为AB的中点，

∴ NF为△ABC的中位线，

∴NF＝AC，
∵AH⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∵点N是AB的中点，
∴NH＝AB，

∵ AB=AC
∴NF＝NH；

（3）如图2，过点D作DG⊥BC于G，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，
设CG＝a，
在Rt△CDG中，∠ACB＝60°，CD＝2a，DG＝a，
∵AD＝2CD＝4a，
∴AB＝BC＝AC＝AD＋CD＝6a，
∴BG＝BC−CG＝5a，
在Rt△BGD中，BD＝，

设DH＝b，
∴BH＝BD−DH＝

在Rt△ABH中，AH2＝AB2−BH2＝36a2−＝8a2＋－b2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2−DH2＝16a2−b2，
∴8a2＋−b2＝16a2−b2，

∴，

∴ DH=，BH==，

由（1）知，△ABH≌△ACE，

∴ BH=CE，

∴ CE=，

∴ ，

故答案为：6

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，判断出BH＝CE是解本题的关键．

8．如图，ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；

（2）若CBP为等腰三角形，求t的值；

【答案】（1）或；（2）或或或

【分析】

（1）点作于点，根据角平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可；

（2）分两种情况讨论：当在上时，为等腰三角形；当在上时，为等腰三角形即①、②时、③，进行讨论易得的值．

【详解】

解：（1）∵中，，，

∴

①当点在的平分线上时，过点作于点，如图：

∴，

∵在中，

∴

∴；

②当秒时，点与重合，也符合条件．

∴当或时，点恰好在的平分线上．

（2） ①当在上时，，为等腰三角形

∴，即

∴．

②当在上时，为等腰三角形

Ⅰ．当时，点在的垂直平分线上,过作于， 如图：

∴

∴，即

∴；

Ⅱ．，即

∴；

Ⅲ．，过C作CF⊥AB于F，如图：

∴

∵

∴

∴在中，

∴

∴．

∴当或或或时，为等腰三角形．

【点睛】

本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、三角形的面积、列方程并解方程等，难度适中．能利用分类讨论的思想是解题的关键．