2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题3函数 第17课时 二次函数（知识梳理+经典练习）

第17课时二次函数

1. 二次函数的概念

定义:形如是常数, , 则 叫做 的二次函数.

注意:二次项系数 .

2. 二次函数的图象及性质

3. 二次函数的三种形式

一般式：

顶点式:

交点式:

4. 二次函数系数 a, b, c 与图象的关系

的作用: 决定开口的方向和大小.

(1) , 开口向上, , 开口向下;

(2) |a| 越大, 抛物线的开口越小.

的作用: 决定对称轴的位置.

(1) 与 同号时, 对称轴在 轴的左边;

(2) 与 异号时, 对称轴在 轴的右边;

(3) 时, 对称轴在轴

口诀:左同右异.

的作用: 决定抛物线与 轴的交点位置.

时, 抛物线与 轴交于正半轴;

(2) 时, 抛物线与 轴交于负半轴;

(3) 时, 抛物线过原点

5. 二次函数图象的平移

平移方法: 上加下减，左加右减

注意:将抛物线 用配方法化 成 的形式, 而任意抛物线 均可由 平移得到.

6. 二次函数与一元二次方程的关系

关系:二次函数的图象与 轴的交点的横坐标是一元二次方程的实数根.

判别式:

抛物线与 轴有两个交点;

抛物线与 轴有一个交点;

抛物线与 轴没有交点.

第17课时二次函数

姓名：___________学号：___________

一、单选题

1．下列函数是二次函数的是（   ）

A． B． C． D．

2．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）

A．当x>0，y随x的增大而增大

B．当x=2时，y有最大值－3

C．图像的顶点坐标为（－2，－7）

D．图像与x轴有两个交点

3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)

A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0

4．已知二次函数，当x≥2时，y的取值范围是（ ）

A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3

5．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤

6．已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（　　）

A．b≥-1 B．b≤-1 C．b≥1 D．b≤1

7．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）

A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度

B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度

D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度

8．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

9．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3

10．下列函数中，y随x增大而增大的是（　　）

A．y＝﹣2x B．y＝﹣2x+3

C．y（x＜0） D．y＝﹣x2+4x+3（x＜2）

二、填空题

11．抛物线的顶点坐标为______________________________．

12．已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．

13．将二次函数化成的形式为__________．

14．二次函数的最大值是__________．

15．当 __________时，二次函数 有最小值___________.

16．已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________.

17．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．

18．若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______．

19．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.

20．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．

21．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．

22．抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180º所得的抛物线的解析式是___________.

23．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为____．

24．经过三点的抛物线解析式是_________．

25．抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________

26．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有_____．

①abc＞0

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3

③2a+b=0

④当x＞0时，y随x的增大而减小

三、解答题

27．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；

（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线DE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

29．已知抛物线经过点，与轴交于点．

求这条抛物线的解析式；

如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．C

【详解】

根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是．故选C．

2．B

【详解】

二次函数,

所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；

顶点坐标为（2，-3），选项C错误；

顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，

故答案选B.

考点：二次函数的性质.

3．B

【分析】

利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．

【详解】

顶点坐标（m,m+1）在第一象限，则有

解得：m>0,

故选B.

考点：二次函数的性质．

4．B

【详解】

解：当x=2时，y=﹣4+4+3=3，

∵=，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴当x≥2时，y的取值范围是y≤3，

故选B．

【点睛】

本题考查二次函数的性质．

5．A

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．

【详解】

①∵对称轴在y轴右侧，

∴a、b异号，

∴ab＜0，故正确；

②∵对称轴

∴2a+b=0；故正确；

③∵2a+b=0，

∴b=﹣2a，

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；

④根据图示知，当m=1时，有最大值；

当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，

所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．

故正确．

⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．

故错误．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．

6．D

【详解】

解：∵抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴为直线x=-=b，

而a＜0，

∴当x＞b时，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，

∴b≤1．

故选D．

【点睛】

本题考查二次函数的性质．

7．D

【详解】

分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．

详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．

故选D．

点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．

8．D

【分析】

根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数的图象在二、四象限，

∴b＜0，

A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，

∴a＞0，b＜0，c＜0，

∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；

B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

∴a＜0，b＞0，

∴与b＜0矛盾，B错误；

C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

∴a＜0，b＞0，

∴与b＜0矛盾，C错误；

D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，

∴a＜0，b＜0，c＜0，

∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．

9．B

【分析】

讨论对称轴的不同位置，可求出结果.

【详解】

∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，

可得：（1﹣h）2+1=5，

解得：h=﹣1或h=3（舍）；

②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，

可得：（3﹣h）2+1=5，

解得：h=5或h=1（舍）．

综上，h的值为﹣1或5，

故选B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

10．D

【分析】

一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．

【详解】

解：A．一次函数y=-2x中的a=-2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．

B．一次函数y=-2x+3中的a=-2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．

C．反比例函数y=（x＜0）中的k=2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．

D．二次函数y=-x2+4x+3（x＜2），对称轴x==2，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，故符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是关键．

11．(1，8)

【分析】

根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．

【详解】

解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)

∴的顶点坐标为(1，8)

故答案为：(1，8)

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．

12．＜2（或x≤2）．

【详解】

试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.

考点：二次函数的性质

13．

【分析】

利用配方法整理即可得解．

【详解】

解：，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：为常数)；

(2)顶点式：；

(3)交点式(与轴)：．

14．8

【分析】

二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.

【详解】

解：∵，

∴有最大值，

当时，有最大值8．

故答案为8．

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.

15．1    5   

【详解】

二次函数配方，得：，所以，当x＝1时，y有最小值5，

故答案为1，5.

16．y3>y1>y2.

【详解】

试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.

考点：二次函数的函数值比较大小.

17．－1或2或1

【分析】

分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．

【详解】

∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，

当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，

解得：a1=-1，a2=2，

当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.

故答案为-1或2或1.

18．﹣4

【分析】

与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积．把要求的式子通分代入即可．

【详解】

设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴，

∴ ，故答案为．

【点睛】

根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则

19．（1,4）.

【详解】

试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.

考点：抛物线的顶点.

20．﹣3＜x＜1

【分析】

根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．

【详解】

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．

故答案为：﹣3＜x＜1．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．

21．①③④．

【分析】

首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式，再根据对称性判断出②的正误；把 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．

【详解】

解：根据图象可得： ，

对称轴：

，

故①正确；

把 代入函数关系式

由抛物线的对称轴是直线，可得当

故②错误；

即： 故③正确；

由图形可以直接看出④正确．

故答案为①③④．

【点睛】

此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．

22．y = -2

【分析】

根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．

【详解】

将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，

抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，

化为一般式，得

y=﹣2x2﹣4x﹣3，

故答案为y=﹣2x2﹣4x﹣3．

23．y=﹣x2+4x﹣3．

【详解】

待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系．

【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1．

又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1．

∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1．

∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3．

24．y=﹣x2+x+3.

【详解】

试题分析：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），

把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3.

考点：待定系数法求二次函数解析式．

25．，.

【分析】

由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.

【详解】

依题意，得：，

解得：，

所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，

即：，

化为：，

解得：，，

故答案为，.

【点睛】

本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.

26．②③

【分析】

由函数图象可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．

【详解】

解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵对称轴在y轴右侧，∴＞0，∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，

∴abc＜0，故①错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），

∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；

∵对称轴为直线x=1，∴=1，即2a+b=0，故③正确；

∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；

当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；

故答案为②③．

【点睛】

此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．

27．（1）（2）或（3）为定值

【分析】

（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．

（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．

（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．

【详解】

（1）∵抛物线经过点，.

∴，解得：.

∴抛物线的函数表达式为.

（2）①若点在轴下方，如图1，

延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点.

∵当，解得：，.

∴.

∵，，

∴，，，，

∴中，，，

∵，为中点，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

∴中，，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴中，，，.

∴，，

∴，，即，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：.

∵，解得：（即点），，

∴.

②若点在轴上方，如图2，

在上截取，则与关于轴对称，

∴，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：.

∵，解得：（即点），，

∴.

综上所述，点的坐标为或．

（3）为定值.

∵抛物线的对称轴为：直线，

∴，，

设，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：，

当时，，

∴，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：，

当时，，

∴，

∴，为定值．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算.

28．（1）y＝x﹣1，y＝x2+x+2；（2）P（2，3）或（，）；（3）N（，）．

【分析】

（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；

（3）过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解．

【详解】

（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：

，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2，

同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①；

（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，

将点FB代入一次函数表达式，

同理可得直线BF的表达式为：y＝+1，

设点P（x，），则点H（x，+1），

S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（）＝7，

解得：x＝2或，

故点P（2，3）或（，）；

（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），

过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，

∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），

A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，

联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），

由中点坐标公式得：点A″（3，0），

同理可得：直线AP″的表达式为：y＝﹣3x+9…③，

联立①③并解得：x＝，即点M（，），

点M沿BD向下平移2个单位得：N（，）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q运动的最短路径，是本题解题的关键．

29．(1) ;（2）点的坐标为；（3）

【分析】

（1） 用待定系数法即可得到答案;

（2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案.

（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.

【详解】

解：抛物线经过点，

，

解得

抛物线解析式为；

如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，

，

，

，

．

，开口向下，有最大值，

当时，四边形的面积最大，

此时，，即．

因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．

，

顶点．

如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．

设直线的解析式为，且过点，，

直线的解析式为．

在中，．

为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

由图可知

设直线的函数解析式为，

解得：

直线的解析式为．

解得：

．

【点睛】

本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.

30．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），

【详解】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；

（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，

∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．