2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题1数与式 第3课时 整式（知识梳理+经典练习）

这是一份2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题1数与式 第3课时 整式（知识梳理+经典练习），共12页。学案主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1.整式的概念
整式：单项式和多项式统称为整式.
单项式：由数或字母的积构成的式子叫做单项式;
单独的一个数或一个字母也是单项式.
单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.
多项式：几个单项式的和叫做多项式.
多项式的次数：一个多项式中，最高次项的次数叫做这个多项式的次数.
2.整式的加减运算
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;
几个常数项也是同类项.
合并同类项：把多项中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母部分不变.
注意：
(1)只有同类项才能合并﹔
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类相；
3.幂的运算法则
同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把乘方的幂相乘.
同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
4.整式的乘除法
单项式与单项式相乘：把相同字母的指数分别相加，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
单项式的除法：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
5. 乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：
变形公式：
注意：不要犯类似下面的错误：
经典习题：
第3课时 整式
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．单项式的系数和次数分别是（ ）
A．、4B．、3C．、3D．、4
2．多项式6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1是（ ）
A．四次三项式B．三次四项式C．四次五项式D．五次四项式
3．下列各组单项式是同类项的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
4．下列运算正确的是( )
A．B．
C．D．
5．﹣（a﹣b+c）去括号的结果为（ ）
A．﹣a﹣b+cB．﹣a+b﹣cC．a﹣b+cD．a+b﹣c
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．－3xy·（－2xy）2＝12x3y3B．4x2·（－2x3）2＝16x12
C．（－a2）·a3＝a6D．2a2b·（－ab）2＝2a4b3
7．已知是一个完全平方式，则m的值为( )
A．2B．±2C．4D．±4
8．已知，，那么的值为（ ）
A．3B．6C．D．
9．如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2D．a2＋ab＝a（a＋b）
10．观察下列各式数：−2x，4x2，−8x3，16x4，−32x5，…则第n个式子是 ( )
A．−2n−1xnB．(−2)n−1xnC．−2nxnD．(−2)nxn
二、解答题
11．计算：．
12．先化简，再求值：，其中．
13．已知a+b=8，ab=15，求下列式子的值：
（1）； （2）
14．已知：x+y＝﹣6，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（2x﹣1）（2y﹣1）．
15．我们将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，可以得到一些新的等式，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]等等．
请利用这些变形后的等式解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝15，（a+b）2＝3，求ab的值；
（2）若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若2AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
参考答案
1．D
【分析】
根据单项式的系数和次数的概念求解即可．
【详解】
解：单项式的系数和次数分别是、4．
故选D．
【点睛】
本题考查了单项式的系数和次数．单项式的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．
2．D
【分析】
组成多项式的单项式叫作多项式的项，多项式中最高次项的次数是多项式的次数，根据概念可得答案.
【详解】
解：6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的最高次项是2x2y3，这一项的次数是5，
6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1的项有：
所以6x4+2x2y3﹣3xy2﹣1是五次四项式，
故选D
【点睛】
本题考查的是多项式的项与次数，掌握多项式的项与次数的概念是解题的关键.
3．A
【分析】
所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，根据同类项的概念逐一判断即可.
【详解】
解：与符合同类项的定义，故A符合题意；
与所含字母不同，不符合同类项的定义，故B不符合题意；
与相同字母的指数不同，不符合同类项的定义，故C不符合题意；
与相同字母的指数不同，不符合同类项的定义，故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是同类项的概念，掌握“利用同类项的概念判断两个单项式是否是同类项”是解题的关键.
4．A
【分析】
根据合并同类项的法则进行计算，然后判断即可．
【详解】
解： ，故B错误，A正确，
，故C、D错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的计算，同类项的合并，掌握同类项合并是本题的关键．
5．B
【分析】
根据去括号法则解题即可．
【详解】
解：﹣（a﹣b+c）＝﹣a+b﹣c
故选B．
【点睛】
本题考查去括号法则：括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号，括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．
6．D
【分析】
根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．C
【分析】
根据完全平方公式求解即可．
【详解】
解：∵x2-4x+m是一个完全平方式，
∴m=，
解得m=4．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8．D
【分析】
根据完全平方公式求出，再把原式因式分解后可代入求值．
【详解】
解：因为，，
所以，
所以
故选：D
【点睛】
考核知识点：因式分解的应用．灵活应用完全平方公式进行变形是解题的关键．
9．A
【分析】
由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【详解】
解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
10．D
【分析】
观察各式：第一个：−2x；第二个： ；第三个： ；第四个：； 由此发现规律，即可求解．
【详解】
解：第一个：−2x；
第二个： ；
第三个： ；
第四个：；

第n个式子：．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了数字规律题，明确题意，准确找到规律是解题的关键．
11．
【分析】
利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则，计算合并同类项即可
【详解】
解：
.
【点睛】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握公式，准确合并计算是解题的关键．
12．，5．
【分析】
先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【详解】
原式
将代入得：原式．
【点睛】
本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
13．（1）34； （2）4．
【分析】
（1）由完全平方公式可得，然后代入求解即可；
（2）由完全平方公式可得，然后代入求解即可．
【详解】
解：（1）a2+b2
=(a+b)2-2ab
=64-30
=34；
（2）(a-b)2
=(a+b)2-4ab
=64-60
=4．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，整式的代入求值问题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式．完全平方公式：，．
14．（1）28；（2）29．
【分析】
（1）把多项式变形为两个数的和的平方与两个数的积的形式，再代入求值；
（2）先把多项式展开，再变形为两个数的和与两个数的积的形式后，代入求值．
【详解】
解：（1）x2+y2
=（x+y）2-2xy
当x+y=-6，xy=4时，
原式=（-6）2-2×4=28；
（2）（2x-1）（2y-1）
=4xy-2x-2y+1
=4xy-2（x+y）+1，
当x+y=-6，xy=4时，
原式=4×4-2×（-6）+1
=29．
【点睛】
本题考查了整式的乘法及整体代入的思想．关键是熟练掌握完全平方公式．
15．（1）-6；（2）255；（3）5
【分析】
（1）将a2+b2=15，（a+b）2=3代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25-x=a，x-10=b，则（25-x）2+（x-10）2=a2+b2=（a+b）2-2ab，再代入计算即可；
（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-a²-b²=[（a+b）²-（a²+b²）]= ×2ab=ab=5．
【详解】
解：（1）∵a2+b2=15，（a+b）2=3，
∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（3-15）=-6；
（2）设25-x=a，x-10=b，
由（a+b）2=a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2=（a+b）2-2ab，
∴（25-x）2+（x-10）2
=[（25-x）+（x-10）]²-2（25-x）（x-10）
=15²-2×（-15）
=225+30
=255；
（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，
∵2AC•BC＝10，
∴AC•BC＝5，
则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-（a²+b²）
=[（a+b）²-（a²+b²）]
=×2ab
=ab
=5．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．