人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理第1课时教学设计及反思

17.2  勾股定理的逆定理
第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解并能证明勾股定理的逆定理.

2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念.

3.会认识并判断勾股数,掌握勾股定理的逆定理,并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.

【过程与方法】

1.通过对勾股定理的逆定理的探索,经历知识发生、发展和形成的过程.

2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状,体验数形结合方法的应用.

【情感态度与价值观】

1.通过用三边之间的数量关系来判断三角形的形状,体验数与形的内在联系,感受定理与逆定理之间的和谐辩证统一的关系.

2.在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

勾股定理的逆定理的应用.

【教学难点】 

勾股定理的逆定理的证明.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、绳子、铅笔、直尺、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

古埃及人曾用下面的方法得到直角：

用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？这就是今天我们探究的问题！

（二）探索新知

1.出示课件4-9，探究勾股定理的逆定理

教师问：据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 这种方法对吗？

学生答：三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形．

教师问：完成下面的问题：

 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).

① 5，12，13； ② 7，24，25；   ③ 8，15，17．

师生依次解答作图如下：

教师问：用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

师生一起解答：如下图所示， 它们都是直角三角形.（出示课件6）

教师问：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:  

 ①5,12,13;    ②7,24,25;     ③8,15,17.

这三组数在数量关系上有什么相同点？

学生分别解答如下：

学生1解答：① 5,12,13满足52+122=132,

学生2解答：② 7,24,25满足72+242=252,

学生3解答：③ 8,15,17满足82+152=172.

教师问：如果用字母a，b，c代替上面每一组的数字，你能得到a，b，c之间什么关系式呢？

学生回答：a2+b2=c2

教师问：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？

学生回答：∵32+42=52，∴满足.

教师问：根据上面的式子你有什么猜想呢?

学生答：一个三角形的两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形.

教师总结如下：由上面几个例子，我们猜想：

命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

教师问：你觉得这个猜想严谨吗？为什么？

学生1回答：我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.

学生2回答：我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.

教师问：试着完成下面的题目。

展示问题：已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2 .求证：∠C=90°.

师生共同解答如下：

证明：作∆A1B1C1, 使∠C1=90°，B1C1=a，C1A1=b. 根据勾股定理，则有A1B12=B1C12+C1A1 2=a2+b2. ∵a2+b2=c2, ∴A1B1=c，∴AB=A1B1.

在△ABC和△A1B1C1中，
BC=B1C1,
CA=C1A1,
AB=A1B1.

∴∆ABC≌∆A1B1C1.   

∴∠C=∠C1=90°.   
教师总结归纳：（出示课件10）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.

教师追问：你能利用符号语言描述一下上面的定理吗？

师生一起总结如下：

符号语言：

在△ABC中，若a2+b2=c2

则△ABC是直角三角形.

教师总结点拨：（出示课件11）

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.

考点1：利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,
那么哪一个角是直角？（出示课件12）

(1) a=15  ， b=8  ，c=17; (2) a=13 ，b=14  ，c=15.

师生共同讨论解答如下：

学生1解：

(1)∵152+82=289，172=289，

∴152+82=172，                                                                                           

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.

学生2解：

(2)∵132+142=365，152=225，

∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，

∴这个三角形不是直角三角形.

师生总结点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形

若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.（出示课件14）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：∵a+b=4,ab=1,

∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.

又∵c2=14,

∴a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

出示课件15，学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件16，探究勾股数

教师问：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.你能找到满足a2+b2=c2的三个数均为正整数吗？

学生1回答：可以找到，例如3，4，5.

学生2回答：可以找到，例如5，12，13.

教师问：如果满足a2+b2=c2的三个均为正整数，我们把具有这种性质的一组数叫做勾股数.你能举出实际的例子吗？

学生1回答：3，4，5.  5，12，13

学生2回答：6，8，10.  7，24，25.

学生3回答： 8，15，17.  9，40，41.

学生4回答：10，24，26

教师问：勾股数有很多，那么如何快速找勾股数呢？

师生共同解答如下：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.

出示课件17，学生自主练习，教师给出答案。

3.出示课件18，互逆命题和互逆定理

教师问：看下面的两个命题：

命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

命题2如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

你发现了什么？

师生共同解答如下：发现：两个命题的条件和结论如下所示：

教师问：两个命题的条件和结论有怎样的关系？

学生回答：两个命题的条件和结论有如下联系：它们是题设和结论正好相反的两个命题.

教师总结归纳：（出示课件20）

定义：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

归纳总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.

出示课件21，学生自主练习，教师给出答案.

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。

（三）课堂练习（出示课件22-27）

练习课件第22-27页题目，约用时20分钟

（四）课堂小结（出示课件28）

师生共同回顾本节课所学主要内容:

(1)已知一个三角形的三边长,利用勾股定理的逆定理来判定这个三角形是不是直角三角形.

(2)一个命题一定有逆命题,一个定理不一定有逆定理.

(3)三个数满足勾股数的两个条件:①三个数必须满足较小的两个数的平方和等于最大的一个数的平方;②三个数必须都是正整数.

(4)解题时,注意勾股定理与其逆定理的区别.勾股定理是在直角三角形中运用的,而勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的.

（五）课前预习

预习下节课（17.2第2课时）的相关内容.

知道利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的方法

七、课后作业

教材第33页练习第1,2,3题.

八、板书设计

17.2　勾股定理的逆定理

第1课时

1.勾股定理的逆定理

 (1)归纳猜想

 (2)原命题、逆命题

 (3)勾股定理的逆定理的证明

2.勾股数

3.互逆命题和互逆定理

考点1　考点2

4.例题讲解

九、教学反思

成功之处：

1.本节课以“提出问题——解决问题”为主线,以学生的自主探索学习为中心,从解决问题的完成情况看,知识目标完全达到,能力目标基本实现,情感目标基本实现.

2.在本节课教学中,充分发挥学生在教学中的主体作用,教师不能一味地“讲知识”,而是应用启发式的原则,给学生指明学习目标和方向,让学生去自主探究,注重了知识上的及时巩固,也侧重了学生各方面的素质的培养.

不足之处：

1.在重难点的突破上,还应加一些递进的习题,降低题的难度,使优生学好,中等生也能跟上.同时,缺少了板书示范,不利于学生养成良好的书写习惯.

2.本节课内容较多,由于时间紧,还是不敢放手,总是牵着学生走,结果学生的积极性没有充分调动起来,还需要注意教师精讲,留足时间让学生探究.