北师大版九年级下册4 二次函数的应用当堂检测题

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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.6二次函数的应用（1）面积问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020秋•萧山区月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为　　A．， B．， C．， D．，【分析】设平行于墙的一边长为，苗圃园面积为，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．【解答】解：设平行于墙的一边长为，苗圃园面积为，则有最大值，时，墙长为当时，最小这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为，．故选：．2．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是　　平方米．A．16 B．18 C．20 D．24【分析】设为米，则，即可求面积【解答】解：设，则得矩形的面积：即矩形的最大面积为18平方米故选：．3．（2019•桥西区校级模拟）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过　　秒，四边形的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值．【解答】解：设、同时出发后经过的时间为，四边形的面积为，则有：．当时，取得最小值．故选：．4．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室面积最大为　　A． B． C． D．【分析】设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积即可求得面积的最值．【解答】解：设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，则总面积，故饲养室的最大面积为75平方米，故选：．5．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系【分析】矩形的周长为，可用来表示，代入中，化简即可得到关于的函数关系式．【解答】解：由题意得，，，，即与是一次函数关系．，矩形面积满足的函数关系为，即满足二次函数关系，故选：．6．（2021•河南二模）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为，，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，则下列所列方程正确的是　　A． B． C． D．【分析】设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，根据题意可得：，故选：．7．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．则：　　A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误【分析】设平行于墙的长度为，隔离区的面积为，根据矩形的面积公式列出关于的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得的最大值；令，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．【解答】解：设平行于墙的长度为，隔离区的面积为，由题意得：，对称轴为，，抛物线开口向下，在对称轴左侧，随的增大而增大，当时，有最大值：．，小明错误；令得：，解得：（舍，，时，．隔离区的面积可能为．故选：．8．（2020秋•合江县月考）如图，是直角三角形，，，，点从点出发，沿方向以的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形的最大面积是　　A． B． C． D．【分析】设经过运动停止，列出面积与之间的函数关系式．【解答】解：根据题意沿方向以的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动，，，，，三角形的最大面积是16．故选：．9．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为　　A． B． C． D．【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．【解答】解：关于的函数表达式为：．故选：．10．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得、、、四点重合于图中的点，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设，要使包装盒的侧面积最大，则应取　　A． B． C． D．【分析】如图，由于，则，利用和都是等腰直角三角形，所以，，利用矩形的面积公式得到包装盒的侧面积，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：如图，，，和都是等腰直角三角形，，，包装盒的侧面积，当时，包装盒的侧面积最大．故选：．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是，则所围成矩形的最大面积是　16　．【分析】首先设围成矩形的长是，则宽为，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：设围成矩形的长是，则宽为，矩形的面积为：．二次项系数为，当时，有最大值，最大值为16．故答案为：16．12．（2020秋•饶平县校级期中）用长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为　3　，此时最大面积为　　．【分析】设窗框的长为，根据木材的总长度是表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：设窗框的长为，则窗框的宽为，所以，窗框的面积，，当时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为．故答案为：3，6．13．（2019•兴庆区校级三模）已知如图，矩形的周长为18，其中、、、为矩形的各边中点，若，四边形的面积为，则与之间的函数关系式为　　．【分析】根据矩形的周长表示出边，再根据的面积等于矩形的面积的一半列式整理即可得解；【解答】解：矩形的周长为18，，，、、、为矩形的各边中点，，故答案为：；14．（2019•温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域的面积最大值是　300　．【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形面积是矩形面积的2倍，可得出，设，则有，表示出与，进而表示出与的关系式，并求出的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积的最大值即可．【解答】解：如图，三块矩形区域的面积相等，矩形面积是矩形面积的2倍，，设，，则，，即，，，矩形区域的面积，，，则；，且二次项系数为，当时，有最大值，最大值为．故答案为：300．15．（2020秋•淮阴区校级月考）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为，剪去小正方形的边长为，则二次函数关系式为 　　．【分析】根据题意和图形，可知无盖纸盒的底面的长为，宽为，然后根据矩形的面积长宽，即可写出与的函数关系式．【解答】解：由题意可得，，即与的函数关系式为，故答案为：．16．（2021秋•江津区校级月考）如图，规格为的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得，．现准备从五边形地砖上截出一个面积为的矩形地砖，则最大值是 　　．【分析】延长交与点，则，，由三角形相似，列出与的关系，再由矩形面积公式写出与的关系式，根据函数增减性，然后求出最大值．【解答】解：延长交与点，则，．，，，，，当时，随的增大而增大，，当时，最大，最大值为．故答案为：．17．（2021•老河口市模拟）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为米，当等于 　2　时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．【分析】先根据题意得出窗框的长为米，再根据长方形的面积公式得出其面积关于的函数解析式，并配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【解答】解：根据题意知，窗框的长为（米，窗框的透光面积，，当时，取得最大值，最大值为6，即当等于2时窗户的透光面积最大，故答案为：2．18．（2021•于洪区二模）如图，要在夹角为的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当　4　米时，该花坛的面积最大．【分析】根据题意和三角形的面积公式，可以表示出花坛的面积，然后根据二次函数的性质，即可得到当为多少时，该花坛的面积最大．【解答】解：设长为米，则长为米，，点到的距离是（米，，当时，取得最大值，即米时，该花坛的面积最大，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•射阳县期末）在创建文明城市的活动中，政府想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．（Ⅰ）若花园的面积是，求的长；（Ⅱ）当的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？【分析】（Ⅰ）根据，就可以得出，由矩形的面积公式就可以得出关于的方程，解之可得；（Ⅱ）设花园面积为，根据题矩形的面积求出二次函数解析式，根据二次函数的性质就可以得求出结果．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，则，则，整理，得：，解得：，，答：的长为或；（Ⅱ）设花园面积为，根据题意得，，当时，有最大值，最大值为，答：当的长是时，花园面积最大，最大面积是．20．（2020秋•阜宁县期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙的长；（2）求矩形菜园面积的最大值．【分析】（1）设，则，根据“所围成的矩形菜园的面积为1800平方米”列出方程求解即可；（2）设，则，分和两种情况讨论．【解答】解：（1）设，则，根据题意得：，解得，，当时，，不符合题意舍去，当时，，答：的长为；（2）设，，当时，则时，的最大值为5000，当时，则当时，随的增大而增大，当时，的最大值为，答：当时，的最大值为5000，当时，的最大值为．21．（2020•无锡）有一块矩形地块，米，米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元米、60元米、40元米，设三种花卉的种植总成本为元．（1）当时，求种植总成本；（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．【分析】（1）当时，，，，即可求解；（2）参考（1），由题意得：；（3），，则，即可求解．【解答】解：（1）当时，，，；（2）米，米，参考（1），由题意得：；（3），同理，甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，，解得：，故，而随的增大而减小，故当时，的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．22．（2020•宁波模拟）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是半圆，直道的长是多少？你一定知道是100米可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设米．（1）请用含的代数式表示．（2）设矩形的面积为．①求出关于的函数表达式．②当直道为多少米时，矩形的面积最大？【分析】（1）由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；（2）①由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）由题意可得：，；（2）①四边形是矩形，；②当时，最大，当米时，最大．23．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与平行的篱笆，如图，、上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边长米，，矩形的面积为平方米．（1）求出与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；（2）若矩形的面积为252平方米，求的长．【分析】（1）根据题意可得，求出的长即可列出与函数关系式；（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，化简得，，可得矩形的面积：；（2）由题意得：，解得：或6（舍去，故长为14米．24．（2019秋•南岸区期末）空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，已知木栏总长为．（1）已知，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了木栏，且围成的矩形菜园面积为．如图1，求所利用旧墙的长；（2）已知，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园的面积最大，并求面积的最大值．【分析】（1）按题意设出，用表示，再根据面积列出方程解答；（2）根据旧墙长度和长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论与菜园边长之间的数量关系．【解答】解：（1）设米，则，依题意得，，解得，，，且，舍去，利用旧墙的长为20米；（2）设米，矩形的面积为平方米，①如果按图1案围成矩形菜园，依题意得，，，时，随的增大而增大，当时，，②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，，当时，即时，则时，当，即时，随的增大而减小，时，，综合①②，当时，，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，当时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．当时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当时，围成长为米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米．