高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用一等奖ppt课件

[对应学生用书P94]

1．(多选题)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　)

A．·＝0　　　　 B．·＝0

C．·＝0     D．·＝0

ABD　[∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，

∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．]

2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行     B．垂直

C．相交但不垂直     D．无法确定

B　[a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. ]

3．若空间中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的关系为(　　)

A．平行     B．垂直

C．相交但不垂直     D．无法确定

A　[＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，

∴＝－2.∴∥.∴AB∥CD.]

4．(多选题)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列四个结论中，正确的是(　　)

A．A1M∥D1P

B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1

D．A1M∥平面D1PQB1

ACD　[＋，所以A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，故A正确．由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故C，D正确．因为PQ与D1B1平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即D1P与B1Q不平行，即A1M与B1Q不平行，故B不正确．]

5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　)

A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直

B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直

C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直

D．l1，l2，l3两两互相垂直

A　[∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，

a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.]

6．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，那么下列结论正确的是(　　)

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C．是平面ABCD的法向量

D．∥

ABC　[∵·＝0，·＝0，

∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．

又与不平行，

∴是平面ABCD的法向量，则C正确．

∵＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，故D错误．]

7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)

A．AC     B．BD

C．A1D     D．A1A

B　[建立如右图坐标系，设正方体棱长为1，

则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，

D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E(，，1).

∴＝(，，1)－(0，1，0)＝(，－，1)，

＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，

∵·＝(，－，1)·(－1，－1，0)

＝－＋＋0＝0，∴⊥，∴CE⊥BD.]

8．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.

3　[∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.

∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.]

9．(多空题)已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________，＝________(用向量，表示).

11　 －4＋　[＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，

＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，

∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)

＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ).

∴∴

而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11，＝－4＋.]

10．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥DC；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB.

(1)证明　以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，

∴·＝·(0，a，0)＝0，

∴EF⊥DC.

(2)解　设G(x，0，z)满足条件，则G∈平面PAD.

＝，

由·＝·(a，0，0)

＝a＝0，得x＝，

由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0，

∴G点坐标为，即G点为AD的中点．

11．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　)

A．平行     B．垂直

C．相交但不垂直     D．位置关系不确定

B　[如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0).

则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0).

因为·＝0，·＝0，

所以PQ⊥DQ，PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.

又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.]

12．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(　　)

A．     B．

C．     D．

B　[由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.

又⊥平面ABC，

∴即

解得∴＝(，－，－3).]

13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________．

a或2a　[建立如图所示的坐标系，则B1(0，0，3a)，

D，C(0，a，0).

设E(a，0，z)(0≤z≤3a)，

则＝(a，－a，z)，

B1E＝(a，0，z－3a).

由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.

故AE＝a或2a.]

14．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

证明　(1)建立如图所示的空间直角坐标系．

设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是，(0，0，1)，

∴＝.

又点A，M的坐标分别是(，，0)，，

∴＝.

∴＝，且NE与AM不共线．∴NE∥AM.

又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知＝.

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1).

∴·＝0.∴⊥.同理⊥.

又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.

15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．

(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

(1)证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，∴＝(2，0，0)，＝(2，2，1)，＝(0，2，1).设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

即

令y1＝1，得n1＝(0，1，－2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0，2，1).∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1.

(2)解　由于点M在AE上，∴可设＝λ＝λ(0，2，1)＝(0，2λ，λ)，可得M(2，2λ，λ)，于是A1M＝(0，2λ，λ－2).要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴A1M·＝(0，2λ，λ－2)·(0，2，1)＝5λ－2＝0，解得λ＝.故当AM＝AE时，即点M的坐标为时，A1M⊥平面DAE.

16．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．

(1)证明　如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设AB＝a，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)，所以＝(0，1，1)，＝(－，1，－1)，＝(a，0，1)，

＝(，1，0).

因为＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以，所以B1E⊥AD1.

(2)解　假设在棱AA1上存在一点P(0，0，t)(0≤t≤1)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，t).

设平面B1AE的一个法向量为n＝(x，y，z).

由得

取x＝1，可得平面B1AE的一个法向量为n＝(1，－，－a).

要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，即n·＝0，即－at＝0，解得t＝.

又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，使得DP∥平面B1AE，此时AP＝.