高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优质ppt课件

[对应学生用书P98]

1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，

所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－.

又两直线夹角的取值范围为，

所以l1和l2夹角的余弦值为.]

2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A．     B．

C．     D．

A　[设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[建系如图，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1).

设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，

即所求线面角的正弦值为.]

4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)

A．45°     B．60°

C．90°     D．120°

B　[以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1).

∴cos θ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°.]

5．(多选题)(2019·辽宁丹东高二期末)正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)

A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为

B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为

C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为

D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为

BC　[取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，

则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；

设AB＝2，则AA1＝2.

∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0).

∴＝(0，2，－2).底面ABC的其中一个法向量为m＝(0，0，2)，

∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为＝＝＝，∴A错B对．

∵A1B1的中点K的坐标为(，－，0)，

∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为KC1＝，

∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为|＝＝，

故C对D错．故选B、C.]

6．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　)

A．AC⊥BD

B．AB与CD所成的角为60°

C．△ADC为等边三角形

D．AB与平面BCD所成的角为60°

ABC　[A中，如图取BD中点O，连接AO，CO，

易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．

B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a，

则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，

D(0，a，0)，

故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)，

由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－，

故两异面直线所成的角为，故B正确．

C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确．

D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误．]

7．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，AE等于(　　)

A．1    B．    C．2－    D．2－

D　[以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

设AE＝m.

有D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(1，m，0)，C(0，2，0)，

可取平面ABCD的一个法向量n1＝(0，0，1)，

设平面PEC的一个法向量为n2＝(a，b，c)，

则又＝(0，2，－1)，＝(1，m－2，0)，

∴∴令b＝1得n2＝(2－m，1，2).

|cos 〈n1，n2〉|＝＝

＝＝.

∴m＝2－或m＝2＋(舍去).即AE＝2－.]

8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．

　[依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，

∴＝，＝，

∴cos 〈，〉＝＝，

故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.]

9．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.

　[建立坐标系如图，则B(1，1，0)，O，

＝(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量．

又＝，

∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝.]

10．(多空题)已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于________，平面AEF与平面ABC的夹角的正切值等于________．

　　[如图，建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，F，

所以＝，＝(－1，1，0)，＝，

所以异面直线AE与A1C1所成角的余弦值等于.

平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z).

则即

取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3).

所以cos 〈n1，n2〉＝＝.

所以平面AEF与平面ABC的夹角α满足cos  α＝，

sin α＝，所以tan α＝.]

11．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　)

A．     B．

C．     D．

D　[设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，

∴B，F，

C，D.

∴＝，且为平面BDF的一个法向量．

由＝，＝可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，).

∴cos 〈n，〉＝，sin 〈n，〉＝.∴tan 〈n，〉＝.]

12．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　)

A．1       B．        C．       D．

C　[不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.

记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴·＝－b2＝－λ2，

而||＝，||＝，

∴|cos 〈，〉|＝

＝＝，解得λ＝.]

13．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则平面ACD与平面BCD的夹角为________.

60°或120°　[取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.

据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，

AB＝，

且〈，〉为平面ACD与平面BCD的夹角(或其补角)，

由2＝(＋＋)2得

13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈，〉，

∴cos 〈，〉＝－.∴〈，〉＝120°.

平面ACD与平面BCD的夹角为60°或120°.]

14．如图，在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，现将该梯形中的三角形EBC沿线段EC折起，形成四棱锥B­AECD.

(1)在四棱锥B­AECD中，求证：AD⊥BD；

(2)若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为120°，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．

(1)证明　由三角形BEC沿线段EC折起前，∠ABC＝60°，CD＝2，AB＝4，点E为AB的中点，得三角形BEC沿线段EC折起后，四边形AECD为菱形，边长为2，∠DAE＝60°，如图，取EC的中点F，连接DF，BF，DE.

∵△BEC和△DEC均为正三角形，

∴EC⊥BF，EC⊥DF.又BF∩DF＝F，BF，DF⊂平面BFD，

∴EC⊥平面BFD.∵AD∥EC，∴AD⊥平面BFD.

∵BD⊂平面BFD，∴AD⊥BD.

(2)解　以F为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

由EC⊥平面BFD知，z轴在平面BFD内．

∵BF⊥EC，DF⊥EC，

∴∠BFD为平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角，

∴∠BFD＝120°，∴∠BFz＝30°.

易知BF＝，∴点B的横坐标为－，点B的竖坐标为.

则D(，0，0)，E(0，1，0)，A(，2，0)，

B，

故＝(－，－1，0)，＝，

＝(0，－2，0).

设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

∴

得令x＝1，得y＝0，z＝，

∴平面ABD的一个法向量为n＝(1，0，)，

∴cos 〈，n〉＝＝＝－.

∵直线AE与平面ABD所成角为锐角，

∴直线AE与平面ABD所成角的正弦值为.

15．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0).

(1)求证： CD⊥平面ADD1A1；

(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．

(1)证明　如图所示，取CD中点E，连接BE.

∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.

在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，

BC＝5k，

∴BE2＋CE2＝BC2，

∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，∴CD⊥AD.

∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD.

又AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面ADD1A1，

∴CD⊥平面ADD1A1.

(2)解　以D为坐标原点，，，DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，

设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，

取y＝2，

可得平面AB1C的一个法向量为n＝(3，2，－6k).

设AA1与平面AB1C所成角为θ，

，解得k＝1或k＝－1(舍去).故k的值为1.