专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)
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专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)
【必备知识点】
◆构造一:待定系数之型构造等比数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.
【经典例题1】已知满足,求数列的通项公式.
【解析】
根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,.
【经典例题2】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即
【经典例题3】已知数列中,,,求数列的通项公式.
【解析】
设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即
【练习1】数列中,,设其前项和为,则
A. B. C. 15 D. 27
【答案】
【解析】
,可得,解得,同理可得:
变形为. 数列为等比数列,首项为,公比为2.
故选:.
【练习2】已知数列的前项和为,若,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
数列的前项和为,解得,
得,,
是以为首项,以为公比的等比数列,
.故选:.
【练习3】在数列中,,则_______.
【答案】47
【解析】
数列 中, ,变形为:,,数列为等比数列,首项为3,公比为2,,即则.故答案为:47.
【练习4】已知数列满足,则数列的通项公式=______.
【答案】
【解析】
是以为首项,2为公比的等比数列.,故.
【练习5】已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______.
【答案】1023
【解析】数列的首项,且,
则:,
整理得:(常数) ,
所以:数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以:,
当时,符合通项.
故:,
所以:
所以:.
【练习6】已知数列中,,则_______.
【答案】
【解析】
因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以,故答案为:.
◆构造二:待定系数之型构造等比数列
求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列.
【经典例题1】设数列满足,,求数列的通项公式.
【解析】
将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得.
【经典例题2】已知:,时,,求的通项公式.
【解析】
设与题干原式比较,对应项系数相等得,解得,首项所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即
【练习1】已知数列是首项为.
(1)求通项公式;
(2) 求数列的前项和.
【解析】
因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即.
【练习2】已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.
(1)求和通项公式;
(2)的前项和.
【解析】
因为是一元二次方程的两个根,所以,由 得,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以
【练习3】设数列是首项为,满足.问是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;
【解析】
依题意,令 所以 ,即
解得.所以数列是以2为公比、为首项等比数列.所以 ,即存在,使得数列成等比数列.
◆构造三:待定系数之型构造数列
求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法.
方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.
方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决;
方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解.
【经典例题1】已知数列中,求的通项公式.
【解析】
解法一:构造数列,化简成题干结构得,
对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以.
解法二:将两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得
令,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以即.所以.
解法三:将两边分别除,也就是乘,得令
,则,所以
将以上各式叠加,得,又
,所以,即所以.
【经典例题2】已知数列满足,求数列的通项公式.
【解析】
解法一:设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.
解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以得:,下面解法略.
解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.
【练习1】已知数列满足.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】
解法一:因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以数列是以为首相以为公比的等比数列,所以,所以,故选A.
解法二:令,因为,对比系数得:,所以数列 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以,所以,所以 ,因为,所以.所以,所以,对于,都有恒成立,所以,所以的最大值为3,故选 A.
【练习2】已知数列满足.
(1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;
(2)记为数列的前项和,求.
【解析】
(1)数列满足,所以2. ,所以数列为等差数列,首项为0,公差为2.
(2)由(1)可得:,可得:,所以
【过关检测】
一、单选题
1.已知为数列的前n项和,若,则的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令可得,又,解得,又,
则,,即是以2为首项,2为公比的等比数列,则,.
故选:B.
2.已知数列中,,,则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,
又,,
所以数列是首项为2,公比为2 的等比数列,
所以,
故选:D.
3.已知数列满足,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为,所以,又,
所以是等比数列,公比为5,首项是1,
所以,,所以.
故选:B.
4.设数列的前n项和为,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
当时,,解得.
当时,,
所,即,
所以,即,
所以数列是首项为3,公比为2的等比数列,则,
从而,故.
故选:C
5.在数列中,,且,则的通项为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
解:∵,∴,
由,得,∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,∴,即.
故选:A
6.数列中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
数列中,,
故,
故,所以,
因为,所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,即,
故,
故选:C.
7.数列满足,且,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为,等式两边同时乘以可得,
所以,且,
所以,数列是等差数列,且首项和公差都为,则,所以,,
因为.
当时,;
当时,,即数列从第二项开始单调递减,
因为,,故当时,;当时,.
所以,,则的最小值为.
故选:B.
8.已知数列中,,(且),则数列通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由已知得,进而确定数列的通项公式,即可求.
由,知:且(),而,,
∴是首项、公比都为3的等比数列,即,
故选:C
9.数列满足且,则此数列第5项是( )
A.15 B.255 C.16 D.63
【答案】B
【解析】
∵,
∴,
∴是以1为首项,4为公比的等比数列,
则.
∴,
∴.
故选:B.
10.在数列中,已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由,
得,
故数列为等比数列,首项为,公比为,
所以,,
故选:B.
11.在数列中,,,若,则n的最小值是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】
因为,
所以.
因为,所以,
所以数列是首项和公比都是2的等比数列,
则,即,
因为,所以数列是递增数列,
因为,,
所以满足的n的最小值是10,
故选:C
12.设数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3,则通项an可能是( )
A.5-3n B.3·2n-1-1
C.5-3n2 D.5·2n-1-3
【答案】D
【解析】
设,则,
因为an+1=2an+3,所以,
所以是以为首项,2为公比的等比数列,
,所以
故选:D
13.在数列中,若,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
令,则,
又,所以是以3为首项,为公比的等比数列,
所以,得.
故选:C.
14.已知在数列中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解:因为,,所以,整理得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.所以,解得.
故选:A
15.数列满足,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由可得,所以
所以,所以
所以,所以,所以
故选:D
二、填空题
16.设数列满足,且,则数列的通项公式为___________.
【答案】##
【解析】
解:因为,
,,
,则,
数列是以为首项,为公比的等比数列.
,
所以,
故答案为:
17.已知数列中,,,则通项______;
【答案】
【解析】
因为,
所以,
所以是一个以为首项,以2为公比的等比数列,
所以.
故答案为:
18.数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______.
【答案】
【解析】
∵,∴,
又
∴是以2为首项,2为公比的等比数列.
∴.
即
故答案为:
19.数列满足,且,则_________.
【答案】
【解析】
由题意知:,又,故是1为首项,4为公比的等比数列,
故,故.
故答案为:.
20.已知数列满足,且前8项和为761,则______.
【答案】##
【解析】
解:数列满足,整理得,若,则,显然不符合题意,所以,则(常数);
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列;
所以,整理得;
由于前8项和为761,
所以,
解得.
故答案为:.
三、解答题
21.已知数列满足.
(1)证明为等比数列,并求的通项公式;
(2)记数列的前项和为,证明.
【答案】(1)证明见解析,
(2)见解析
【解析】
(1)证明:因为,
所以,
又,
所以数列是以2为首项,3为公比的等比数列,
则,
所以;
(2)证明:由(1)得,
因为,,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
则,
因为,
所以.
22.已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求的前n项和.
【答案】(1);
(2).
【解析】
(1), 即
数列是以首相为,公比为的等比数列,
(2)由(1)知
23.已知数列的首项,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)∵,等式两边同时加1整理得
又∵,∴
∴是首项为2,公比为2的等比数列.
∴, ∴
(2)∵, ∴.
记的前n项和为
则
所以
相减得
整理得.
所以
24.在数列中,,且.
(1)证明:为等比数列,并求的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【解析】
(1)解:因为,所以,又,所以,
所以是以4为首项,2为公比的等比数列.
故,即.
(2)解:由(1)得,
则,
①当时,
②当时,
,
综上所述,
25.已知数列的前n项和为,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,记数列的前n项和为,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)解:因为,,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以;
(2)解:由(1)可知,所以①,所以②;
①②得
所以;
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