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    专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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    专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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    这是一份专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用),文件包含专题04构造法求数列通项的八种技巧一解析版docx、专题04构造法求数列通项的八种技巧一原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。


    专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)

    必备知识点

    ◆构造一:待定系数之型构造等比数列

    求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.

     

    【经典例题1已知满足,求数列的通项公式.

    【解析】

    根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以为首项,为公比的等比数列.即,.

     

    【经典例题2已知数列中,,,求数列的通项公式.

    【解析】

    ,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故,则,且.所以为首项,为公比的等比数列.所以,即

     

    【经典例题3已知数列中,,,求数列的通项公式.

    【解析】

    ,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故,则,且.所以3为首项,3为公比的等比数列.所以,即

     

    练习1数列中,,设其前项和为,则

    A.             B.              C. 15                D. 27

    【答案】

    【解析】

    ,可得,解得,同理可得:

    变形为. 数列为等比数列,首项为,公比为2.

    故选:.

     

    练习2已知数列的前项和为,若,则

    A.          B.         C.              D.

    【答案】

    【解析】

    数列的前项和为,解得,

    ,,

    是以为首项,以为公比的等比数列,

    .故选:.

     

    练习3在数列中,,则_______.

    【答案】47

    【解析】

    数列 中, ,变形为:,,数列为等比数列,首项为3,公比为2,,即.故答案为:47.

     

     

    练习4已知数列满足,则数列的通项公式=______.

    【答案】

    【解析】

    是以为首项,2为公比的等比数列.,故.

     

    练习5已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______.

    【答案】1023

    【解析】数列的首项,且,

    :,

    整理得:(常数) ,

    所以:数列是以为首项,为公比的等比数列,

    所以:,

    时,符合通项.

    故:,

    所以:

    所以:.

     

    练习6已知数列中,,则_______.

    【答案】

    【解析】

    因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,3为公比的等比数列,所以,故答案为:.

    构造二:待定系数之型构造等比数列

    求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列.

     

    【经典例题1设数列满足,,求数列的通项公式.   

    【解析】

    将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,,则,又,故,,得.

     

    【经典例题2已知:,时,,求的通项公式.

    【解析】

    与题干原式比较,对应项系数相等得,解得,首项所以为首项,为公比的等比数列.所以,即

     

    练习1已知数列是首项为.

    (1)求通项公式;

    (2) 求数列的前项和.

    【解析】

    因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即.

     

    练习2已知数列的前项和,对于任意的是二次方程的两根.

    (1)求通项公式;

    (2)的前项和.

    【解析】

    因为是一元二次方程的两个根,所以,由 ,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以

     

    练习3设数列是首项为,满足.是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;

    【解析】

    依题意,令 所以 ,即

    解得.所以数列是以2为公比、为首项等比数列.所以 ,即存在,使得数列成等比数列.

     

     

    构造三:待定系数之型构造数列

    求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法.

    方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.

    方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决;

    方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解.

     

    【经典例题1】已知数列,求的通项公式.

    【解析】

    解法一:构造数列,化简成题干结构得,

    对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以.

     

    解法二:两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得

    ,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以.所以.

    解法三:两边分别除,也就是乘,得

    ,则,所以

    将以上各式叠加,得,又

    ,所以,即所以.

     

    【经典例题2已知数列满足,求数列的通项公式.

    【解析】

    解法一:,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.

    解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以得:,下面解法略.

    解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略.

     

    练习1已知数列满足.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为(   )

    A. 3                    B. 4                    C. 7                   D. 9

    【答案】A

    【解析】

    解法一:因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以数列是以为首相以为公比的等比数列,所以,所以,故选A.

    解法二:令,因为,对比系数得:,所以数列 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以,所以,所以 ,因为,所以.所以,所以,对于,都有恒成立,所以,所以的最大值为3,故选 A.

     

    练习2已知数列满足.

    (1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;

    (2)记为数列的前项和,求.

    【解析】

    (1)数列满足,所以2. ,所以数列为等差数列,首项为0,公差为2.

    (2)由(1)可得:,可得:,所以

     

     

    过关检测

    一、单选题

    1.已知为数列的前n项和,若,则的通项公式为(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    可得,又,解得,又

    ,即是以2为首项,2为公比的等比数列,则.

    故选:B.

    2.已知数列中,,则数列的通项公式为(       

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    所以数列是首项为2,公比为2 的等比数列,

    所以

    故选:D.

    3.已知数列满足,则的值为(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    因为,所以,又

    所以是等比数列,公比为5,首项是1

    所以,所以

    故选:B

    4.设数列的前n项和为,若,则       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    时,,解得.

    时,

    ,即

    所以,即

    所以数列是首项为3,公比为2的等比数列,则

    从而,故.

    故选:C

    5.在数列中,,且,则的通项为(       

    A B

    C D

    【答案】A

    【解析】

    解:

    ,得数列是以2为首项,2为公比的等比数列,,即

    故选:A

    6.数列中,,则       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    数列中,

    ,所以

    因为,所以

    所以是首项为2,公比为2的等比数列,

    所以,即

    故选:C.

    7.数列满足,且,若,则的最小值为(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    因为,等式两边同时乘以可得

    所以,

    所以,数列是等差数列,且首项和公差都为,则,所以,

    因为.

    时,

    时,,即数列从第二项开始单调递减,

    因为,故当时,;当时,.

    所以,,则的最小值为.

    故选:B.

    8.已知数列中,),则数列通项公式为(       

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    由已知得进而确定数列的通项公式,即可求.

    知:(),而

    是首项、公比都为3的等比数列,即

    故选:C

    9.数列满足,则此数列第5项是(       

    A15 B255 C16 D63

    【答案】B

    【解析】

    是以1为首项,4为公比的等比数列,

    故选:B

    10.在数列中,已知,则       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】

    故数列为等比数列,首项为,公比为

    所以

    故选:B.

    11.在数列中,,若,则n的最小值是(       

    A8 B9 C10 D11

    【答案】C

    【解析】

    因为

    所以.

    因为,所以

    所以数列是首项和公比都是2的等比数列,

    ,即,

    因为,所以数列是递增数列,

    因为

    所以满足n的最小值是10,

    故选:C

    12.设数列{an}中,a12an12an3,则通项an可能是( )

    A53n B3·2n11

    C53n2 D5·2n13

    【答案】D

    【解析】

    ,则

    因为an12an3,所以

    所以是以为首项,2为公比的等比数列,

    ,所以

    故选:D

    13.在数列中,若,则       

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】

    ,则

    ,所以是以3为首项,为公比的等比数列,

    所以,得

    故选:C

    14.已知在数列中,,则       

    A B C D

    【答案】A

    【解析】

    :因为,所以,整理得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.所以,解得

    故选:A

    15.数列满足,若,则的取值范围为(       

    A B C D

    【答案】D

    【解析】

    可得,所以

    所以,所以

    所以,所以,所以

    故选:D

    二、填空题

    16.设数列满足,且,则数列的通项公式为___________.

    【答案】##

    【解析】

    解:因为

    ,则

    数列是以为首项,为公比的等比数列.

    所以

    故答案为:

    17.已知数列中,,则通项______

    【答案】

    【解析】

    因为

    所以

    所以是一个以为首项,以2为公比的等比数列,

    所以.

    故答案为:

    18.数列{an}满足 a11an12an1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______

    【答案】

    【解析】

    是以2为首项,2为公比的等比数列.

    故答案为:

    19.数列满足,且,则_________.

    【答案】

    【解析】

    由题意知:,又,故1为首项,4为公比的等比数列,

    ,故.

    故答案为:.

    20.已知数列满足,且8项和为761,则______

    【答案】##

    【解析】

    解:数列满足,整理得,若,则,显然不符合题意,所以,则(常数);

    所以数列是以为首项,2为公比的等比数列;

    所以,整理得

    由于前8项和为761

    所以

    解得

    故答案为:

    三、解答题

    21.已知数列满足.

    (1)证明为等比数列,并求的通项公式;

    (2)记数列的前项和为,证明.

    【答案】(1)证明见解析,

    (2)见解析

    【解析】

    (1)证明:因为

    所以

    所以数列是以2为首项,3为公比的等比数列,

    所以

    (2)证明:由(1)得

    因为

    所以数列是以为首项,为公比的等比数列,

    因为

    所以.

    22.已知数列满足.

    (1)的通项公式;

    (2)的前n项和.

    【答案】(1)

    (2).

    【解析】

    (1)

    数列是以首相为,公比为的等比数列,

    (2)由(1)知

    23.已知数列的首项,且

    (1)求数列的通项公式;

    (2)若数列满足,求数列的前n项和

    【答案】(1)

    (2)

    【解析】

    (1)∵,等式两边同时加1整理得

    是首项为2,公比为2的等比数列.

           

    (2)∵.

    的前n项和为

    所以

    相减得

    整理得.

    所以

    24.在数列中,,且.

    (1)证明:为等比数列,并求的通项公式;

    (2),求数列的前项和.

    【答案】(1)证明见解析,

    (2)

    【解析】

    (1)解:因为,所以,又,所以

    所以是以4为首项,2为公比的等比数列.

    ,即.

    (2)解:由(1)得

    时,

    时,

    综上所述,

    25.已知数列的前n项和为,且

    (1)求数列的通项公式;

    (2),记数列的前n项和为,求证:

    【答案】(1)

    (2)证明见解析

    【解析】

    (1)解:因为,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,所以

    (2)解:由(1)可知,所以,所以

    所以

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