专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

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专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)【必备知识点】◆构造一:待定系数之型构造等比数列求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来. 【经典例题1】已知满足,求数列的通项公式.【解析】根据原式,设,整理得,题干中,根据对应项系数相等得.,令,,所以是为首项,为公比的等比数列.即,. 【经典例题2】已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】设,整理得,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即 【经典例题3】已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】设,即,题干中,根据对应项系数相等,解得,故令,则,且.所以是3为首项,3为公比的等比数列.所以,即 【练习1】数列中,,设其前项和为,则A.             B.              C. 15                D. 27【答案】【解析】,可得,解得,同理可得:变形为. 数列为等比数列,首项为,公比为2.故选:. 【练习2】已知数列的前项和为,若,则A.          B.         C.              D. 【答案】【解析】数列的前项和为,解得,得,,是以为首项,以为公比的等比数列,.故选:. 【练习3】在数列中,,则_______.【答案】47【解析】数列 中, ,变形为:,,数列为等比数列,首项为3,公比为2,,即则.故答案为:47.  【练习4】已知数列满足,则数列的通项公式=______.【答案】【解析】是以为首项,2为公比的等比数列.,故. 【练习5】已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______.【答案】1023【解析】数列的首项,且,则:,整理得:(常数) ,所以：数列是以为首项,为公比的等比数列,所以:,当时,符合通项.故：,所以:所以：. 【练习6】已知数列中,,则_______.【答案】【解析】因为,所以,因为,所以数列是以2为首项,以3为公比的等比数列,所以,故答案为:.◆构造二:待定系数之型构造等比数列求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列. 【经典例题1】设数列满足,,求数列的通项公式.    【解析】将递推公式转化为,化简后得,与原递推式比较,对应项的系数相等,得,解得,令,则,又,故,,得. 【经典例题2】已知:,时,,求的通项公式. 【解析】设与题干原式比较,对应项系数相等得,解得,首项所以是为首项,为公比的等比数列.所以,即 【练习1】已知数列是首项为.(1)求通项公式;(2) 求数列的前项和.【解析】因为2 ),且,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列,则,即. 【练习2】已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根.(1)求和通项公式;(2)的前项和.【解析】因为是一元二次方程的两个根,所以,由 得,两式相减得,所以 ,令,则,比较 以上两式的系数,得,解得.所以.又 ,,所以数列是以为首项、为公比的等比数列.所以 ,所以  【练习3】设数列是首项为,满足.问是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由;【解析】依题意,令 所以 ,即解得.所以数列是以2为公比、为首项等比数列.所以 ,即存在,使得数列成等比数列.  ◆构造三:待定系数之型构造数列求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解.方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决；方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解. 【经典例题1】已知数列中,求的通项公式.【解析】解法一:构造数列,化简成题干结构得,对应项系数相等得,设,,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,,所以. 解法二:将两边分别除,也就是乘,为方便计算,我们等式两边同乘,得令,则,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以即.所以.解法三:将两边分别除,也就是乘,得令,则,所以将以上各式叠加,得,又,所以,即所以. 【经典例题2】已知数列满足,求数列的通项公式. 【解析】解法一:设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以得:,下面解法略.解法三:(两边同除以)两边同时除以得:,下面解法略. 【练习1】已知数列满足.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为(   )A. 3                    B. 4                    C. 7                   D. 9【答案】A【解析】解法一：因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以数列是以为首相以为公比的等比数列,所以,所以,故选A.解法二:令,因为,对比系数得:,所以数列 是以3为首项,3为公比的等比数列,所以,所以,所以 ,因为,所以.所以,所以,对于,都有恒成立,所以,所以的最大值为3,故选 A. 【练习2】已知数列满足.(1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;(2)记为数列的前项和,求.【解析】(1)数列满足,所以2. ,所以数列为等差数列,首项为0，公差为2.(2)由(1)可得:,可得:,所以   【过关检测】 一、单选题1．已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令可得，又，解得，又，则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.故选：B.2．已知数列中，，，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，又，，所以数列是首项为2，公比为2 的等比数列，所以，故选：D.3．已知数列满足，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，又，所以是等比数列，公比为5，首项是1，所以，，所以．故选：B．4．设数列的前n项和为，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，所，即，所以，即，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，从而，故.故选：C5．在数列中，，且，则的通项为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A6．数列中，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】数列中，，故，故，所以，因为，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故，故选：C.7．数列满足，且，若，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，等式两边同时乘以可得，所以，且，所以，数列是等差数列，且首项和公差都为，则，所以，，因为.当时，；当时，，即数列从第二项开始单调递减，因为，，故当时，；当时，.所以，，则的最小值为.故选：B.8．已知数列中，，（且），则数列通项公式为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.由，知：且()，而，，∴是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C9．数列满足且，则此数列第5项是（       ）A．15 B．255 C．16 D．63【答案】B【解析】∵，∴，∴是以1为首项，4为公比的等比数列，则．∴，∴．故选：B．10．在数列中，已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故数列为等比数列，首项为，公比为，所以，，故选：B.11．在数列中，，，若，则n的最小值是（       ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】因为，所以.因为，所以，所以数列是首项和公比都是2的等比数列，则，即,因为，所以数列是递增数列,因为，，所以满足的n的最小值是10,故选：C12．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3【答案】D【解析】设，则，因为an＋1＝2an＋3，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，，所以故选：D13．在数列中，若，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则，又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，所以，得．故选：C．14．已知在数列中，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A15．数列满足，若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以所以，所以所以，所以，所以故选：D二、填空题16．设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.【答案】##【解析】解：因为，，，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列.，所以，故答案为：17．已知数列中，，，则通项______；【答案】【解析】因为，所以，所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，所以.故答案为：18．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______．【答案】【解析】∵，∴，又∴是以2为首项，2为公比的等比数列．∴．即故答案为：19．数列满足，且，则_________.【答案】【解析】由题意知：，又，故是1为首项，4为公比的等比数列，故，故.故答案为：.20．已知数列满足，且前8项和为761，则______．【答案】##【解析】解：数列满足，整理得，若，则，显然不符合题意，所以，则（常数）；所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以，整理得；由于前8项和为761，所以，解得．故答案为：．三、解答题21．已知数列满足.(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明.【答案】(1)证明见解析，(2)见解析【解析】(1)证明：因为，所以，又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以；(2)证明：由（1）得，因为，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，因为，所以.22．已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求的前n项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)， 即 数列是以首相为，公比为的等比数列， (2)由（1）知23．已知数列的首项，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，等式两边同时加1整理得又∵，∴∴是首项为2，公比为2的等比数列．∴，       ∴(2)∵， ∴.记的前n项和为则所以相减得整理得.所以24．在数列中，，且.(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)解：因为，所以，又，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.故，即.(2)解：由（1）得，则，①当时，②当时，，综上所述，25．已知数列的前n项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；(2)解：由（1）可知，所以①，所以②；①②得所以；