专题02 等比数列必备知识点与考点突破-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题02 等比数列必备知识点与考点突破

【必备知识点】

◆知识点1:等比数列                                          

1.等比数列的概念

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示.

2.等比数列的判定

(1)(定义法);         (2)(中项法)

(3) (通项法)；  (4)(和式法).

3.等比数列通项公式

或

例:已知数列满足，，则下列结论正确的是（       ）

A．数列是公差为的等差数列

B．数列是公差为2的等差数列

C．数列是公比为的等比数列

D．数列是公比为2的等比数列

例:已知等比数列{}中，满足，，则（       ）

A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列

◆知识点2:等比数列的性质

设为等比数列,公比为,则

(1)若,则.

(2)若成等差数列,则成等比数列.

(3)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列;

数列是公比为的等比数列;

数列是公比为|q|的等比数列;

若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列.

(4)在数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .

(5)在数列中,连续相邻项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.

(6)若数列是各项都为正数的等比数列,则数列且是公差为的等差数列.

(7)等比数列的连续项的积构成的数列: ,仍为等比数列.

例:在正项等比数列中，，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

例:已知等比数列满足，，则（       ）

A．数列是等差等列 B．数列是等差数列

C．数列是递减数列 D．数列是递增数列

◆知识点3:等比数列前n项和

1.等比数列前项和公式

当时,

当时,

2.等比数列前项和公式与指数函数的关系

(1)当时, 是关于的正比例函数,点是直线上的一群孤立的点.

(2)当时,.记 ,则是一个指数式与一个常数的和.当且时,是指数函数,此时,点是指数型函数图象上的一群孤立的点.

如等比数列 的前项和为,点是函数图象上的一群孤立的点. 

例:已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）

A．31 B． C． D．63

例:已知等比数列的前n项和，则实数t的值为（       ）

A．4 B．5 C． D．

◆知识点4:等比数列前n项和的性质

已知等比数列的公比为,前项和为,则有如下性质:

(1).

证明: .

(2)若均不为0 ,则成等比数列,且公比为.

(3)若共有项,则;

若共有 项,则.

例:等比数列的前n项和为，已知，，则（       ）

A． B． C． D．

例:已知等比数列的前项和为，，，则（       ）

A．90 B．100

C．120 D．130

例:已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（       ）

A． B． C． D．

【核心考点】

◆考点1:等比中项  

1．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（       ）

A． B．

C．或 D．或

2．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则（       ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）

A． B． C． D．1

4．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（       ）

A． B． C． D．1

◆考点2:等比数列的证明                                        

1．已知数列的前n项和公式为，则数列（       ）

A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列

C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列

2．数列中，，，则下列结论中正确的是（　　）

A．数列的通项公式为

B．数列为等比数列

C．数列为等比数列

D．数列为等差数列

3．设数列满足，且，则（       ）

A．为等比数列 B．为等比数列

C．为等比数列 D．为等比数列

4．若数列的项和为且，，则下列说法不正确的是（       ）

A． B．

C．数列是等比数列 D．数列是等比数列

◆考点3:等比数列的性质

1．设是等比数列，且，，则（       ）

A．12 B．2 C．30 D．32

2．如果数列是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（       ）

A． B． C． D．

3．已知是等比数列，则（     ）

A．数列是等差数列 B．数列是等比数列

C．数列是等差数列 D．数列是等比数列

4．如果数列是等比数列，且，，则数列是（       ）

A．等比数列 B．等差数列

C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列

5．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（       ）

A． B．Sqn－1

C．Sq1－n D．

6．设等比数列的前项和为，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．4

◆考点4:等比数列的函数特征

1．设等比数列的首项为，公比为，则为递增数列的充要条件是（       ）

A．， B．，

C． D．

2．已知无穷等比数列满足，其前项和为，则（       ）

A．数列为递增数列 B．数列为递减数列

C．数列有最小项 D．数列有最大项

3．等比数列是递增数列，若，，则公比为（        ）

A． B． C．或 D．或

4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值

◆考点5:等比数列前n项和的概念与计算

1．已知数列是递增的等比数列，且，，若的前n项和满足，则正整数k等于（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．已知等比数列的前n项和，则（       ）

A．首项的值不确定 B．公比 C． D．

3．若数列的前10项和等于数列的前6项和，则常数（       ）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（       ）

A． B． C．3 D．4

◆考点6:Sn与an的关系

1．已知等比数列的前n项和，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知公比为的等比数列的前项和，，且，则（       ）

A．48 B．32 C．16 D．8

3．(多选)已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（       ）

A．

B．

C．数列是等比数列

D．数列的前项和为

4．已知等比数列的前n项和为，若，则k的值为______．

◆考点7:等比数列前n项和的性质

1．已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（   ）

A． B． C．72 D．90

2．设等比数列的前项和为，若，则等于（       ）.

A． B． C． D．

3．设等比数列的前项和为，若，则（       ）

A． B． C． D．

4．已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（       ）

A．

B．

C．，，成等比数列

D．“”是“，，成等差数列”的充要条件

5．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（       ）

A． B．

C． D．

◆考点8:等比数列的奇数项和偶数项性质与应用

1．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（       ）

A．15 B．30

C．45 D．60

2．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（       ）.

A．11 B．12 C．13 D．14

3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

4．在等比数列中，若公比，且，则数列的前100项的和为

A．100 B．90

C．120 D．30

5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

6．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（ ）

A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8

7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）

A．8 B．2 C．4 D．2

【过关检测】

一、单选题

1．设是公比为的等比数列，且.则（       ）

A． B． C．8 D．11

2．若数列{}的前n项和为＝，=（       ）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（       ）

A． B．3 C． D．1

4．已知数列是等比数列，满足，，则（       ）

A． B． C． D．

5．记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（       ）

A． B． C． D．2

6．数列中，，，若，则（       ）

A．3 B．5 C．4 D．6

7．已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

8．已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．设是等比数列，则下列四个命题正确的是（       ）

A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列

10．已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（       ）

A．－3 B．－2 C．2 D．3

11．已知是数列的前项和，，则（       ）

A．是等比数列 B．

C． D．

12．已知等比数列各项均为正数，其前项积为，若，，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．是中最小的项

D．使成立的的最大值为18

三、填空题

13．设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．

14．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________．

15．已知数列的前n项和为，，，则___________.

16．在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为______

四、解答题

17．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求的最大值．

18．已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若，求正整数的值.

19．已知数列的前n项和为，，．

(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：

(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．

20．已知数列满足，；设等差数列､的前项和分别为和，且，，.

(1)求证数列是等比数列；

(2)求常数的值及的通项公式；

(3)求的值.

21．已知首项为的等比数列公比小于0，其前n项和为，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若实数a使得对任意恒成立，求a的取值范围.