专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题08  数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和

◆倒序相加法求和

等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.

【经典例题1】

已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.

【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前?项和的方法探求：若，则（       ）

A．2018 B．4036 C．2019 D．4038

【练习2】已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．

【练习3】已知，求.

【练习4】函数对任意,都有.

(I)求的值;

(II)若数列满足,数列是等差数列吗?

◆数列绝对值求和

 (1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有

(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。

【经典例题1】已知是数列的前项和,且.

(1)求;

(2)求数列的前项和.

【经典例题2】已知等差数列的前项和为,且.

(I)求的通项公式;

(II)求数列的前项和.

【练习1】已知在前n项和为的等差数列中，，．求数列的前20项和．

【练习2】等差数列中，，（，），求数列的前项和．

【练习3】数列中，，，求数列的前n项和．

【练习4】已知数列的前n项和，求数列的前n项和.

◆数列奇偶性求和

对于数列奇偶性的问题,基本原则有两种手段：第一是所有的奇数项相加,所有的偶数项相加;第二是相邻的奇数项与偶数项相加作为新的一项.

【经典例题1】在数列中,且,则________.

【经典例题2】数列满足,则的前60项和为_____.

【经典例题3】已知数列满足:当且时,有 .则数列的前200项和为

A. 300               B. 200                 C. 100                   D. 0

【练习1】已知数列满足：，，.

(1)记，求数列的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求.

【练习2】已知数列数列的前项和且，且.

（1）求的值，并证明：；

（2）求数列的通项公式；

（3）求的值.

【练习3】已知数列的首项，前n项和为，且数列是公差为2的等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2） 若，求数列的前n项和.

【练习4】在数列中，，，且.

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式.

【过关检测】

一、单选题

1．已知数列的前项和为，则数列的前12项和为（       ）

A．93 B．94 C．95 D．96

2．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（       ）

A．96 B．97 C．98 D．99

3．已知数列的前n项和，则的值为(       )

A．68 B．67 C．65 D．56

4．设，为数列的前n项和，求的值是（       ）

A． B．0 C．59 D．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（　　）

A．56 B．58 C．62 D．60

6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（       ）

A．9 B．10

C．11 D．12

7．等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（       ）

A． B． C． D．

9．已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（       ）

A． B． C． D．

10．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（            ）

A．300 B．298 C．296 D．294

11．已知数列的前n项和为，则此数列奇数项的前m项和为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

12．已知函数，数列是正项等比数列，且，______．

13．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得________．

14．若数列的前n项和是，则________.

三、解答题

15．等差数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

16．已知数列的前n项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和的公式．

17．已知等差数列的前n项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

18．数列中，，，前n项和满足．

（1）证明：为等差数列；

（2）求．

19．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．

(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；

(2)若数列满足，求的前项和．