专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)

【必备知识点】

◆构造六:取对数构造法

型如,或者为常数.

针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.

【经典例题1】数列中, ,,求数列的通项公式.

【解析】

取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,.

【经典例题2】数列中,,,求数列的通项公式.

【解析】

取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,.

【经典例题3】已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式.

【解析】

将代入函数得,,即

两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即,,.

【经典例题4】在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式.

【解析】

由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即.

◆构造七:二阶整体构造等比

简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.还有一小部分题型可转化为,利用成等比数列求出.

【经典例题1】已知数列满足,求数列的通项公式.

【解析】

由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以.

【经典例题2】已知数列中,,,,求数列的通项公式。

【解析】

由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,.

【经典例题3】数列中,,,,求数列的通项公式。

【解析】

由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,.

此方法可以解决大多数的,模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.

【经典例题4】已知数列满足,,,求数列的通项公式.

【解析】

看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了.

【经典例题5】已知数列满足,,,求的通项公式.

【解析】

 通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下.

构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.

构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即.

秒杀求法:

类通项公式暴力秒杀求法

对应的特征方程为:,设其两根为

当时,

当时,

其中,的值的求法,用的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可

【秒杀例题1】已知数列满足,,,求的通项公式.

【解析】

,对应的特征方程为:,解得两根为,,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即

,解得,代入化简得.

【秒杀例题2】已知数列满足,,,求数列的通项公式.

【解析】

,对应的特征方程为:,解得两根为,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即

解得,代入化简得.

【练习1】在数列中,,则_______.

【答案】

【解析】

,

, 即,

数列是首项为1,公比为2的等比数列,

, 由累加法可得,

,

【练习2】设数列的前项和为.已知,且当时, .

(1)求的值；

(2)证明：为等比数列 ;

(3)求数列的通项公式.

【答案】

【解析】当时,,即

解得:;

(2)证明:

即,

 数列是以为首项,公比为的等比数列;

(3)由(2)知,是以为首项,公比为的等比数列,

即,

是以为首项,4为公差的等差数列,,即

数列的通项公式是

【练习3】数列满足.

(1)设,证明是等差数列;

(2)求的通项公式.

【答案】

【解析】

(1)证明:,,

又,

数列是以1为首项、2为公差的等差数列,

即数列是等差数列;

(2)由(1)可知

,

,

,

累加得,

,

数列的通项公式.

◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)

针对这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.

对于函数,若存在实数,使得,则称是函数的不动点.

在几何上，曲线与曲线的交点的横坐标即为函数的不动点.

一般地,数列的递推式可以由公式给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列,若其递推式为,且存在实数,使得,则称是数列的不动点。

数列的不动点有什么性质呢? 若从某一项开始,数列的取值即为,也即,则 ,以此类推,根据数学归纳法, 可以得到当 时,,也即数列在之后“不动”了.

这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令数列当中的每一项都等于,最后解方程即可.

接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列满足,其中,,,是给定的实数,求数列的通项公式。

这时候要求它的不动点,考虑方程,得到了一个二次方程,我们从几个例子出发：

【经典例题1】设数列满足,求数列的通项公式。

【解析】

根据数列不动点得性质,令,方程,故1是数列的不动点,尝试在递推式两边同时减去1,得到.

注意到左右两边分别出现了和这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列,当然也可以直接变形：

也即,因此数列是首项为1,公差为的等差数列,累加得 ,因此.

【经典例题2】设数列满足,求数列的通项公式。

【解析】

根据数列不动点得性质,令,同样地,考虑方程,这时候数列有两个不动点1和2,分别在递推式两边減去1和2后,可以得到：

.

两式相除得,因此数列是首项为2,公比为的等比数列,累乘得 ,因此.

【经典例题3】已知,且,求的通项公式.

【解析】

考虑方程,故1和是数列的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去1和,分别得到：

.

两式相除得,因此数列是首项为,公比为的等比数列,累乘得 ,因此.

【经典例题4】数列满足,求的通项公式

【解析】

首先对等式进行一定的变形,等式两边同除,得,等式右侧上下同除,使两侧结构相同,,令,则,考虑方程,故是数列的不动点,在递推式两边同时减去,得到：

.所以数列是以为首项,为公差的等差数列, 即,,,得到.

【经典例题5】设数列满足,求数列的通项公式。

【解析】

事实上,,这不同于上面的类型，但是否可以用同样的方法处理呢?

同样尝试求它的不动点:,因此1和是数列的两个不动点,变形得到：

两式相除得,又 ,迭代得到

由此解得数列的通项公式 .

由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列，也可以通过减去不动点来进行代数变形，从而使等式的两边出现类似的结构,更易于处理。

总结:

形如的递推数列,首先令,解出数列的不动点.

处理时也可以分两种情况:

(1)若其有一个不动点,则是等差数列;

(2)若其有两个不动点,则是等比数列。

【过关检测】

一、单选题

1．已知数列的前项和为，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，所以，又，

所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，

则数列也是等比数列，公比为，首项为3．

所以．

故选：A．

2．在数列中，，，则的值为(       )

A． B． C． D．无法确定

【答案】A

【解析】

∵，，∴，解得.

∵，∴，两式相减得，，

∴，

∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，

∴，两边同除以，则，

∴是以为公差，为首项的等差数列，

∴，

∴，

∴.

故选：A.

3．已知数列满足：，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意，

由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，

所以．

故选：C．

4．已知数列满足，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由可得，

若，则，与题中条件矛盾，故，

所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以

，所以，

故选：A．

5．已知数列满足，且，，其前n项和为，若对任意的正整数n，恒成立，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由得，

数列是以为首项，2为公比的等比数列，

，

当时，，，，，

将以上各式累加得，

，当时，也满足，

，

由，得，

，即，

，．

故m的取值范围是．

故选：C．

6．已知数列，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由可得，

，根据递推公式可得出，，，

进而可知，对任意的，，

在等式两边取对数可得，

令，则，可得，则，

所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，

，

即.

故选：B.

7．已知数列满足，，且，若表示不超过x的最大整数（例如，）.则（       ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

【答案】D

【解析】

由题设，，，

故是首项为4，公差为2的等差数列，则，

则，

所以，故，又，

当时，当时，

所以2021.

故选：D

二、填空题

8．在数列中，，，且满足，则___________.

【答案】

【解析】

解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以

所以

故答案为：

9．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.

【答案】

【解析】

解：由,得，则，

由得，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，

当时，

，

所以，

当时，也适合上式，

所以，

故答案为：.

10．设正项数列满足，，则数列的通项公式是______．

【答案】

【解析】

原式两边同时取对数，得，

即．设，则，

又，

所以是以2为公比，1为首项的等比数列，

所以，所以，所以．

故答案为：.

11．在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．

【答案】##

【解析】

解：由，得．

又，，所以，

所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，

所以，

因为符合上式，所以.

故答案为：

12．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.

【答案】

【解析】

因为，

所以，

因此，

因为，，所以，

故数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

所以当时，

，，，，，

以上各式累加可得：

，

因为，

所以；

又符合上式，所以.

故答案为：.

13．数列满足，则_______.

【答案】.

【解析】

因为，所以，所以数列是常数列，

令，则，且，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，则，所以，又因为，则，所以，因此，所以，

故答案为：.

三、解答题

14．已知是数列的前项，.

(1)设，求数列与的通项公式.

(2)证明：.

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【解析】

(1)当时，，

，即，

，

，

由条件知，

是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，，

，

，

，

是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，，即.

(2)由（1）得，，

，

两式相减得，，

，

解得，

所以，.