专题09 数列不等式的证明与求解参数-【技巧解密】新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题09 数列不等式的证明与求解参数

◆题型一:数列不等式的证明

方法解密:

对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.

【经典例题1】已知等比数列为递增数列，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，证明：．

【经典例题2】已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．

(1)求出，的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：．

【经典例题3】已知数列前项和为，若，且成等差数列．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)记数列的前项和为，求证：．

总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n的取值范围的相关题型.

【经典例题4】等差数列前n项和为，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．

【练习1】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.

(1)求和的值；

(2)求=

(3)证明:

【练习2】已知数列{}的前项和为，，

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设，为数列的前项和.证明：

【练习3】已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，且．

(1)求数列，的通项公式；

(2)对任意的正整数n，有，求证：．

【练习4】已知数列的前n项和为，，，.

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)记，数列的前n项和为，证明：.

◆题型二:数列不等式求解参数

方法解密:

对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即对恒成立,数列单调递增.对恒成立,数列单调递减.

含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.

(1) 恒成立，则

(2) 恒成立，则

下面看一下有关恒成立问题的例题:

【经典例题1】已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是_______．

【经典例题2】已知数列满足，且．若对任意，，不等式恒成立，则正整数的最小值为______．

分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:

【经典例题3】数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若使得成立，则实数k的取值范围是______．

【经典例题4】已知数列前项和为，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．

【练习1】设为等比数列的前n项和，已知，，若存在，使得成立，则m的最小值为___．

【练习2】已知数列的前项和为，，当时，.

(1)求；

(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.

【练习3】已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．

(1)求数列和的通项公式；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【练习4】设数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【过关检测】

1.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.

2.已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．

(1)求数列的公比q和通项；

(2)设，求满足的n的最大值．

3.记是等差数列的前项和，若.

(1)求数列的通项公式；

(2)求使成立的的最小值.

4.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝21，S5＝55．

(1)求an、Sn；

(2)若数列的前n项和Tn，求满足的最小正整数n．

5.已知数列的前n项和为，，，其中.

(1)记，求证：是等比数列；

(2)设，数列的前n项和为，求证：.

6.已知数列的前项和为.

从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.

①数列是等比数列，，且，，成等差数列；

②数列是递增的等比数列，，；

③.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.

7.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.

8.已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值.

9.已知数列的前项和为，；等差数列中，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列前项和为，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值，若不存在，说明理由.

10.已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.

(1)求数列、的通项公式；

(2)若恒成立，求实数的最小值．

11.已知正项数列的前项和为，满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和.若对任意的恒成立，求的最小值.

12.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．