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贵州省安顺市2022-2023学年八年级上学期六校期末联考联评数学试题(含答案)
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这是一份贵州省安顺市2022-2023学年八年级上学期六校期末联考联评数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省安顺市六校联考八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
3．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠1＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A＝∠2
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
9．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．2a2﹣8b2＝2（a+4b）（a﹣4）
B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
C．2m2﹣4mn+9n2＝（2m﹣3n）2
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
10．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（m+2）2
12．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
二、填空题（共5题，每小题6分，共30分）
13．等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝120°，则∠A＝ ．
14．若x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，则m＝ ．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
16．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 ．
17．对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n＝（mn≠0），例如：4※2＝．若（x﹣1）※（x+2）＝+，则2A﹣B＝ ．
三、解答题（共6题，共60分）
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1＝∠BAC．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠CAF＝15°，∠2＝45°，∠3＝20°，求∠B和∠ACD的度数．
19．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接AD、BE，求证：AD＝EB．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
21．先化简，再求值
已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．
（1）求a、b的值；
（2）求（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）的值．
22．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）
参考答案
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
【分析】分腰长为8cm和4cm两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可．
解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；
当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
【分析】先根据∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，得出∠ACD﹣∠ABC＝36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝18°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝18°．
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．
3．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
4．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠1＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A＝∠2
【分析】利用平角的定义可对B进行判断；根据等角的余角相等和对D进行判断；根据互余的定义对A进行判断；根据全等三角形的判定方法可对C进行判断．
解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，所以B选项的结论错误；
∵∠1+∠A＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠A＝∠2，所以D选项的结论正确；
∠A+∠D＝90°，所以A选项的结论正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），所以C选项的结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
解：如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
8．如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项求出a的值即可．
解：原式＝x2+（a+3）x+3a，
由结果不含x的一次项，得到a+3＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．2a2﹣8b2＝2（a+4b）（a﹣4）
B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
C．2m2﹣4mn+9n2＝（2m﹣3n）2
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
解：A、2a2﹣8b2＝2（a+2b）（a﹣2b），故此选项错误；
B、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
C、2m2﹣4mn+9n2，不是完全平方公式，故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把常数项﹣15分为两个整数相乘，其和即为﹣k的值，即可确定出整数k的个数．
解：根据题意得：﹣15＝﹣1×15＝1×（﹣15）＝﹣3×5＝3×（﹣5），
可得﹣k＝14，﹣14，2，﹣2，
解得：k＝﹣14，14，﹣2，2，共4个，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
11．化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（m+2）2
【分析】本题要先通分，分母变为m﹣2后，分子为m2﹣4，然后约分，便可得出答案．
解：原式＝÷（m+2），
＝，
＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．
12．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，确定出满足条件m的值，进而求出之和．
解：解不等式≤1，得：x≤m+3，
解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得：m≥﹣2，
解分式方程：+＝3得x＝，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
则﹣2≤m＜3且m≠2，
则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
二、填空题（共5题，每小题6分，共30分）
13．等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝120°，则∠A＝ 100° ．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，根据等边对等角，可得∠ABC＝∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC＝120°，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠C＝2∠1，
而∠2+∠C＝180°﹣∠BDC，且∠BDC＝120°，
∴3∠1＝60°，
即∠1＝∠2＝20°，
又∵∠BDC＝∠A+∠1，
∴∠A＝∠BDC﹣∠1＝120°﹣20°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14．若x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，则m＝ 0或﹣6 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
解：∵x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝0或﹣6，
故答案为：0或﹣6
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 48 ．
【分析】分两种情况讨论：①若n﹣13＜6n≤4n+31，②若n﹣13＜4n+31≤6n，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
解：①若n﹣13＜6n≤4n+31，则，
解得，即＜n≤，
∴正整数n有1个：15；
②若n﹣13＜4n+31≤6n，则，
解得，即≤n＜18，
∴正整数n有2个：16和17；
综上所述，满足条件的n的值有3个，它们的和＝15+16+17＝48；
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
17．对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n＝（mn≠0），例如：4※2＝．若（x﹣1）※（x+2）＝+，则2A﹣B＝ ﹣5 ．
【分析】由（x﹣1）※（x+2）＝、+＝可得答案．
解：（x﹣1）※（x+2）＝＝，
+＝＝，
由题意，得：，
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
三、解答题（共6题，共60分）
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1＝∠BAC．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠CAF＝15°，∠2＝45°，∠3＝20°，求∠B和∠ACD的度数．
【分析】（1）根据∠1＝∠BAC，易得AB∥EF，而AB∥CD，根据平行公理的推论可得EF∥CD；
（2）由（1）知EF∥CD，那么∠B+∠BFE＝180°，据图易求∠BFE，进而可求∠B，又由于∠1是△AGF的外角，可求∠1，而EF∥CD，那么有∠ACD＝∠1＝35°．
【解答】证明：（1）如右图，
∵∠1＝∠BAC，
∴AB∥EF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD；
（2）∵EF∥CD，
∴∠B+∠BFE＝180°，
∵∠BFE＝∠2+∠3＝65°，
∴∠B＝115°，
∵∠1是△AGF的外角，
∴∠1＝∠3+∠GAF＝35°，
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝35°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、三角形外角性质，解题的关键是证明EF∥CD．
19．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接AD、BE，求证：AD＝EB．
【分析】（1）根据HL证明三角形全等即可．
（2）证明△ACD≌△EFB（SAS）可得结论．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
即DF＝BC，
在Rt△DEF和Rt△BAC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
在△ACD和△EFB中．
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）利用面积法即可解决问题．
（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴•BC•AD＝•AB•CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
21．先化简，再求值
已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．
（1）求a、b的值；
（2）求（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）的值．
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：（1）（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b
＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b
＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．，
∴2a﹣1＝0，﹣12﹣b＝0，
∴a＝，b＝﹣12；
（2）∵a＝，b＝﹣12，
∴（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）
＝a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣2a2﹣ab
＝ab
＝×（﹣12）
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
22．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）
【分析】（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为2：3时，速度之比为3：2．
（2）当时间一定相同时，路程与速度成正比，所以甲所走路程即全程和全程﹣1.2（乙的路程）之间的比值等于速度之比3：2，所以据此可列方程．
（3）没有固定答案，但是不论怎样提问都不能违背题中已知条件．
解：（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲、乙速度之比为3：2．
（2）当时间一定相同时，路程与速度成正比；所以设山脚离山顶的路程为x千米．
根据题意，得：＝．
解得：x＝3.6．
经检验：x＝3.6是原方程的解．
答：山脚离山顶的路程有3.6千米．
（3）所提问题为：“B处离山顶最远为多少千米？”
设B处离山顶的路程为s千米，则甲组所走的路程为s千米，乙组所走的路程为（1.2﹣s）千米．
根据题意，得：＝．
解得：s＝0.72．
经检验：s＝0.72是原方程的解，且符合题意．
【点评】此题考查内容比较全面，既有分式方程的解法，难易程度适中．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
2022-2023学年贵州省安顺市六校联考八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
3．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠1＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A＝∠2
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
9．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．2a2﹣8b2＝2（a+4b）（a﹣4）
B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
C．2m2﹣4mn+9n2＝（2m﹣3n）2
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
10．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（m+2）2
12．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
二、填空题（共5题，每小题6分，共30分）
13．等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝120°，则∠A＝ ．
14．若x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，则m＝ ．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
16．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 ．
17．对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n＝（mn≠0），例如：4※2＝．若（x﹣1）※（x+2）＝+，则2A﹣B＝ ．
三、解答题（共6题，共60分）
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1＝∠BAC．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠CAF＝15°，∠2＝45°，∠3＝20°，求∠B和∠ACD的度数．
19．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接AD、BE，求证：AD＝EB．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
21．先化简，再求值
已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．
（1）求a、b的值；
（2）求（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）的值．
22．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）
参考答案
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm
【分析】分腰长为8cm和4cm两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可．
解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；
当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4＝8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（ ）
A．40° B．36° C．20° D．18°
【分析】先根据∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，得出∠ACD﹣∠ABC＝36°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝18°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝18°．
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，同时要运用整体的思想，关键是从∠ACD这个外角看到∠ECD，根据等量代换解决此题．
3．如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
4．如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠1＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠A＝∠2
【分析】利用平角的定义可对B进行判断；根据等角的余角相等和对D进行判断；根据互余的定义对A进行判断；根据全等三角形的判定方法可对C进行判断．
解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，所以B选项的结论错误；
∵∠1+∠A＝90°，∠2+∠D＝90°，
∴∠A＝∠2，所以D选项的结论正确；
∠A+∠D＝90°，所以A选项的结论正确；
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），所以C选项的结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．
5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．
解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）
【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
解：如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，﹣3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键．
7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
8．如（x+a）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项求出a的值即可．
解：原式＝x2+（a+3）x+3a，
由结果不含x的一次项，得到a+3＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．下列各式分解因式正确的是（ ）
A．2a2﹣8b2＝2（a+4b）（a﹣4）
B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
C．2m2﹣4mn+9n2＝（2m﹣3n）2
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）（x+y）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
解：A、2a2﹣8b2＝2（a+2b）（a﹣2b），故此选项错误；
B、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，正确；
C、2m2﹣4mn+9n2，不是完全平方公式，故此选项错误；
D、x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把常数项﹣15分为两个整数相乘，其和即为﹣k的值，即可确定出整数k的个数．
解：根据题意得：﹣15＝﹣1×15＝1×（﹣15）＝﹣3×5＝3×（﹣5），
可得﹣k＝14，﹣14，2，﹣2，
解得：k＝﹣14，14，﹣2，2，共4个，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
11．化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（m+2）2
【分析】本题要先通分，分母变为m﹣2后，分子为m2﹣4，然后约分，便可得出答案．
解：原式＝÷（m+2），
＝，
＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．
12．如果关于x的不等式组的解集为x＜1，且关于x的分式方程+＝3有非负数解，则所有符合条件的整数m的值之和是（ ）
A．﹣2 B．0 C．3 D．5
【分析】不等式组变形后，根据解集确定出m的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解，确定出满足条件m的值，进而求出之和．
解：解不等式≤1，得：x≤m+3，
解不等式x﹣4＞3（x﹣2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得：m≥﹣2，
解分式方程：+＝3得x＝，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
则﹣2≤m＜3且m≠2，
则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
二、填空题（共5题，每小题6分，共30分）
13．等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝120°，则∠A＝ 100° ．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，根据等边对等角，可得∠ABC＝∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC＝120°，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠C＝2∠1，
而∠2+∠C＝180°﹣∠BDC，且∠BDC＝120°，
∴3∠1＝60°，
即∠1＝∠2＝20°，
又∵∠BDC＝∠A+∠1，
∴∠A＝∠BDC﹣∠1＝120°﹣20°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14．若x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，则m＝ 0或﹣6 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
解：∵x2+2（m+3）x+9是关于x的完全平方式，
∴m+3＝±3，
解得：m＝0或﹣6，
故答案为：0或﹣6
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．已知n为整数，若一个三角形的三边长分别是4n+31，n﹣13，6n，则所有满足条件的n值的和为 48 ．
【分析】分两种情况讨论：①若n﹣13＜6n≤4n+31，②若n﹣13＜4n+31≤6n，分别依据三角形三边关系进行求解即可．
解：①若n﹣13＜6n≤4n+31，则，
解得，即＜n≤，
∴正整数n有1个：15；
②若n﹣13＜4n+31≤6n，则，
解得，即≤n＜18，
∴正整数n有2个：16和17；
综上所述，满足条件的n的值有3个，它们的和＝15+16+17＝48；
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
17．对于代数式m，n，定义运算“※”：m※n＝（mn≠0），例如：4※2＝．若（x﹣1）※（x+2）＝+，则2A﹣B＝ ﹣5 ．
【分析】由（x﹣1）※（x+2）＝、+＝可得答案．
解：（x﹣1）※（x+2）＝＝，
+＝＝，
由题意，得：，
故答案为：﹣5．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则．
三、解答题（共6题，共60分）
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别在AD、BC边上，连接AC交EF于G，∠1＝∠BAC．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠CAF＝15°，∠2＝45°，∠3＝20°，求∠B和∠ACD的度数．
【分析】（1）根据∠1＝∠BAC，易得AB∥EF，而AB∥CD，根据平行公理的推论可得EF∥CD；
（2）由（1）知EF∥CD，那么∠B+∠BFE＝180°，据图易求∠BFE，进而可求∠B，又由于∠1是△AGF的外角，可求∠1，而EF∥CD，那么有∠ACD＝∠1＝35°．
【解答】证明：（1）如右图，
∵∠1＝∠BAC，
∴AB∥EF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD；
（2）∵EF∥CD，
∴∠B+∠BFE＝180°，
∵∠BFE＝∠2+∠3＝65°，
∴∠B＝115°，
∵∠1是△AGF的外角，
∴∠1＝∠3+∠GAF＝35°，
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝35°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、平行公理的推论、三角形外角性质，解题的关键是证明EF∥CD．
19．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接AD、BE，求证：AD＝EB．
【分析】（1）根据HL证明三角形全等即可．
（2）证明△ACD≌△EFB（SAS）可得结论．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴△ABC和△DEF是直角三角形
又∵CD＝BF
∴CD+CF＝BF+CF，
即DF＝BC，
在Rt△DEF和Rt△BAC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）．
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF
∵AC⊥BD，EF⊥BD
∴∠ACD＝∠EFB，
在△ACD和△EFB中．
∴△ACD≌△EFB（SAS）
∴AD＝BE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）利用面积法即可解决问题．
（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴•BC•AD＝•AB•CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
21．先化简，再求值
已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．
（1）求a、b的值；
（2）求（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）的值．
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解：（1）（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b
＝2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b
＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含有x2项和常数项．，
∴2a﹣1＝0，﹣12﹣b＝0，
∴a＝，b＝﹣12；
（2）∵a＝，b＝﹣12，
∴（b﹣a）（﹣a﹣b）+（﹣a﹣b）2﹣a（2a+b）
＝a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣2a2﹣ab
＝ab
＝×（﹣12）
＝﹣6．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
22．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）
【分析】（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比为2：3时，速度之比为3：2．
（2）当时间一定相同时，路程与速度成正比，所以甲所走路程即全程和全程﹣1.2（乙的路程）之间的比值等于速度之比3：2，所以据此可列方程．
（3）没有固定答案，但是不论怎样提问都不能违背题中已知条件．
解：（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲、乙速度之比为3：2．
（2）当时间一定相同时，路程与速度成正比；所以设山脚离山顶的路程为x千米．
根据题意，得：＝．
解得：x＝3.6．
经检验：x＝3.6是原方程的解．
答：山脚离山顶的路程有3.6千米．
（3）所提问题为：“B处离山顶最远为多少千米？”
设B处离山顶的路程为s千米，则甲组所走的路程为s千米，乙组所走的路程为（1.2﹣s）千米．
根据题意，得：＝．
解得：s＝0.72．
经检验：s＝0.72是原方程的解，且符合题意．
【点评】此题考查内容比较全面，既有分式方程的解法，难易程度适中．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
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