贵州省安顺市2022-2023学年九年级上学期六校期末联考联评数学试题(含答案)

这是一份贵州省安顺市2022-2023学年九年级上学期六校期末联考联评数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省安顺市六校联考九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
2．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）

A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m
5．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，则BE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（　　）
A．a＝5，b＝1 B．a＝﹣5，b＝1 C．a＝5，b＝﹣1 D．a＝﹣5，b＝﹣1
7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）

A．30° B．36° C．60° D．72°
9．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π
10．下列事件中，必然事件是（　　）
A．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．抛一枚硬币，落地后正面朝上
D．实数的绝对值是非负数
11．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
12．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6题，每小题5分，共30分）
13．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+的值为　 　．
14．若实数m，n满足m+n＝mn，且n≠0时，就称点P（m，）为“完美点”，若反比例函数y＝的图象上存在两个“完美点”A，B，且AB＝，则k的值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是　 　．

16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝　 　．

17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　 　．

18．若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53＝156产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是　 　．
三、解答题（共5题，共60分）
19．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
20．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD、BD，将△BAD绕点A按逆时针方向旋转到△CAE的位置，连接DE．
（1）若AD＝1，求DE的长；
（2）连接CD，若F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，连接GF、GH，求证：GH＝GF．

22．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．

23．为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．


参考答案
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝4m，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合+＝4m，即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵+＝4m，
∴＝4m，
∴m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．
2．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x＝﹣，即可求得a＝b；由当x＝1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．
解：A、∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故A选项错误；
B、∵对称轴：x＝﹣＝﹣，
∴a＝b，
故B选项错误；
C、当x＝1时，a+b+c＝2b+c＜0，
故C选项错误；
D、∵对称轴为x＝﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，
即4a+c＜2b，
故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
4．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）

A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．
故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
5．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，则BE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB．
解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB，
∵AB＝4，
∴BE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
6．已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（　　）
A．a＝5，b＝1 B．a＝﹣5，b＝1 C．a＝5，b＝﹣1 D．a＝﹣5，b＝﹣1
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，
∴a＝﹣5，b＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）

A．30° B．36° C．60° D．72°
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
解：如图，连接OC，OD．

∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π
【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE＝DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝，
故S△OCE＝S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴OC＝2，
∴S扇形OBD＝＝，即阴影部分的面积为．
故选：A．

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
10．下列事件中，必然事件是（　　）
A．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．抛一枚硬币，落地后正面朝上
D．实数的绝对值是非负数
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
解：A、抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6，是随机事件；
B、两直线被第三条直线所截，同位角相等，随机事件；
C、抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；
D、实数的绝对值是非负数，必然事件；
故选：D．
【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
11．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，∠EOB＝∠DOF，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO，△EBO≌△FDO，
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
12．小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据已知图形得出第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝5050（个），再用带“心”字的正方体个数除以总个数即可得．
解：∵第1个图形中正方体的个数为1，
第2个图形中正方体的个数3＝1+2，
第3个图形中正方体的个数6＝1+2+3，
∴第100个图形中，正方体一共有1+2+3+……+99+100＝＝5050（个），其中写有“心”字的正方体有100个，
∴抽到带“心”字正方体的概率是＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式及图形的变化规律，解题的关键是得出第n个图形中正方体个数和概率公式．
二、填空题（共6题，每小题5分，共30分）
13．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+的值为　﹣　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2、x1•x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∴+＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．若实数m，n满足m+n＝mn，且n≠0时，就称点P（m，）为“完美点”，若反比例函数y＝的图象上存在两个“完美点”A，B，且AB＝，则k的值为　　．
【分析】先得出完美点所在的函数解析式，进而利用韦达定理求出k的值，进而得出答案．
解：∵m+n＝mn且n≠0，
∴+1＝m，即 ＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
即“完美点”P在直线y＝x﹣1上，设点A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
令 ＝x﹣1，化简得x2﹣x﹣k＝0，
∵AB＝，
∴|x1﹣x2|＝，
由韦达定理x1+x2＝，x1x2＝﹣k，
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
∴+k＝，
解得：k＝，
此时x2﹣x﹣＝0中，Δ＞0，
∴k＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了反比例函数以及根与系数的关系等知识，利用反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是　﹣2　．

【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
解：∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为（﹣，﹣）．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴﹣＝a（﹣）2，
解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝75°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，当C1D1第一次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝　30°　．

【分析】先根据平行四边形的性质得到∴∠BCD＝∠A＝75°，再根据旋转的性质得到∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BCC1即可．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝75°，
∵平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1B1C1D1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，BC＝BC1，∠C1＝∠BCD＝75°，
∵BC＝BC1，
∴∠C1＝∠BCC1＝75°，
∴∠CBC1＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠ABA1＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．确定等腰三角形BCC1底角的度数是解决问题的关键．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是　1　．

【分析】以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF+BC＝CF，在Rt△DFC利用勾股定理求解．
解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．
当CF与圆相切时，AF最大．
此时FA＝FG，BC＝CG．
设AF＝x，则DF＝4﹣x，FC＝4+x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝1．
故答案为1．

【点评】本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理．
18．若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53＝156产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是　0.88　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：∵若自然数n使得三个数的竖式加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，
当n＝0时，0+1＝1，0+2＝2，n+（n+1）+（n+2）＝0+1+2＝3，不是连加进位数；
当n＝1时，1+1＝2，1+2＝3，n+（n+1）+（n+2）＝1+2+3＝6，不是连加进位数；
当n＝2时，2+1＝3，2+2＝4，n+（n+1）+（n+2）＝2+3+4＝9，不是连加进位数；
当n＝3时，3+1＝4，3+2＝5，n+（n+1）+（n+2）＝3+4+5＝12，是连加进位数；
故从0，1，2，…，9这10个自然数共有连加进位数10﹣3＝7个，
由于10+11+12＝33没有不进位，所以不算．
又13+14+15＝42，个位进了一，所以也是进位．
按照规律，可知0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32不是连加进位数，其他都是．
所以一共有88个数是连加进位数．概率为0.88．
故答案为：0.88．
【点评】此题主要考查了概率的求法，得出所有不产生进位的数据是解决问题的关键，再根据一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝求出即可．
三、解答题（共5题，共60分）
19．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴，
∵﹣1≤m＜1，
∴；

（2）＝
＝（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2＝，x1x2＝来化简代数式的值．
20．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A、B坐标代入即可得解析式；
（2）求出AB解析式，设P横坐标表达E坐标和EP长，将四边形AECP面积分成△EAC和△PAC面积之和表达出来，求出面积取最大值时P的横坐标进而求出P坐标；
（3）画出图形观察、计算线段长可以发现∠PCQ＝∠BAC，夹这两角的边对应成比例时两三角形就相似，故有两种情况．
解：（1）∵y＝x2+bx+c经过A（0，1），B（﹣9，10），
∴，
解得b＝2，c＝1，
∴抛物线的解析式是y＝x2+2x+1，
故答案为：y＝x2+2x+1；
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，1），B（﹣9，10）代入得：，
解得m＝﹣1，n＝1，
∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴C（﹣6，1），AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P（t，t2+2t+1），
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E（t，﹣t+1），
∴EP＝（﹣t+1）﹣（t2+2t+1）＝﹣t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝AC•EF+AC•PF＝AC•EP，
∴S四边形AECP＝×6×（﹣t2﹣3t）＝﹣t2﹣9t＝﹣（t+）2+，
∵﹣6＜﹣＜0，
∴t＝﹣时，S四边形AECP最大为，此时t2+2t+1＝×（﹣）2+2×（﹣）+1＝﹣，
故答案为：P（﹣，﹣）；
（3）∵抛物线y＝x2+2x+1顶点为P，
∴P（﹣3，﹣2），
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，且AB解析式为y＝﹣x+1，
∴E（﹣3，4），F（﹣3，1），
而C（﹣6，1），A（0，1），B（﹣9，10），
∴CF＝FP＝EF＝FA＝3，AB＝9，CP＝3，
∴∠PCF＝∠CPF＝∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，∠PCQ与∠BAC为45°故对应，
设Q（k，1），则CQ＝k+6，分两种情况：
①如答图1，△CPQ1∽△ABC，
则可得，
解得k＝﹣4，此时Q1（﹣4，1），

②如答图2，△CQ2P∽△ABC，
则可得，
解得k＝3，此时Q2（3，1），

综上所述，存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，这种Q有两个，分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1），
故答案为：存在直线AC上的点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q坐标分别是Q1（﹣4，1）、Q2（3，1）．
【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度较大．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，连接AD、BD，将△BAD绕点A按逆时针方向旋转到△CAE的位置，连接DE．
（1）若AD＝1，求DE的长；
（2）连接CD，若F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，连接GF、GH，求证：GH＝GF．

【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE＝1，由勾股定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵△BAD绕点A逆时针旋转到△CAE，
∴△BAD≌△CAE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AD＝AE＝1，
∴；
（2）∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，
∴，，
∴GH＝GF．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴．
【点评】此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
23．为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
【分析】（1）根据月用水量为9m3和10m3的户数及其所占百分比可得总户数，再求出5m3和8m3的户数即可补全图形；
（2）根据加权平均数的定义计算可得月平均用水量，再用总户数乘以样本中低于月平均用水量的家庭户数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到满足条件的结果数，根据概率公式计算可得．
解：（1）n＝（3+2）÷25%＝20，
月用水量为8m3的户数为20×55%﹣7＝4户，
月用水量为5m3的户数为20﹣（2+7+4+3+2）＝2户，
补全图形如下：


（2）这20户家庭的月平均用水量为＝6.95（m3），
因为月用水量低于6.95m3的有11户，
所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×＝231户；

（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，
列表如下：

a
b
c
d
e
a

（b，a）
（c，a）
（d，a）
（e，a）
b
（a，b）

（c，b）
（d，b）
（e，b）
c
（a，c）
（b，c）

（d，c）
（e，c）
d
（a，d）
（b，d）
（c，d）

（e，d）
e
（a，e）
（b，e）
（c，e）
（d，e）

由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，
所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和用样本估计总体．