人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

前面我们学习了下面的4个相似三角形的判定定理，它们的内在联系是怎样的呢？

问题：还有判定三角形相似的其他方法吗？

【教学建议】通过复习回顾，帮助学生的梳理已经学过的知识，为新课的学习进行铺垫.

思考并分析问题

通过情景引入，引发学生的思考，为学习新课做铺垫， 培养学生善于思考的习惯，激发学生的学习兴趣

环节二

探究新知

【合作探究】

类比全等三角形的AAS和ASA定理，你还能得到哪些判定三角形相似的方法呢？

分析：

分组讨论，合作探究完成学习任务

经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力

【猜想】

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似．

思考：已知在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'，∠A=∠A'，请问，△ABC∽△A'B'C'成立吗？

【证明】

已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',求证:△ABC∽△A'B'C'.

【分析】

已知条件中，只含有角度的条件，结合已经学过的判定方法进行分析

(1)利用定义法证明（条件不够）

(2)利用平行线法构造证明(添加辅助线)

【证明】

在线段A'B'、A'C' （或它的延长线）上截取A'D=AB，A'E=AC ,连接DE.

∵∠A=∠A'

∴△A'DE≌△ABC

∴∠A'DE=∠B, ∠A'ED=∠C,DE= BC.

又∵∠B=∠B'

∴∠A'DE=∠B'

∴DE// B'C'

∴△A'DE∽△A'B'C'

∵∠A=∠A',∠B=∠B', ∠C=∠C'

∴△ABC∽△A'B'C'．

【教学建议】通过探究环节的设计，引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务

【归纳】

定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似．

简记为：两角分别相等，两三角形相似

符号语言：

如图，在△ABC和△A'B'C'中，

∠A=∠A'，∠B=∠B'

∴△ABC∽△A'B'C'．

【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识

环节三

应用新知

【典型例题】

例1．如图：∠C=∠B,请指出图中的相似三角形.

解：∵∠B=∠C, ∠DFB=∠EFC

∴△DFB∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)

∵∠B=∠C,∠A=∠A

∴△ABE∽△ACD(两角分别相等的两个三角形相似)

提示：在相似三角形中，一般来说，对顶角、公共角是隐藏的对应角.

例2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．

分析：(1)图中有三个直角，分别相等

(2)有两个公共角∠A、∠B

证明：∵∠ACB=∠ADC=90°

∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC．

∵∠CDB=∠ACB=90°，

∠B=∠B，

∴△CBD∽△ABC．

∴△ABC∽△CBD∽△ACD．

例3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D．求AD的长．

解：∵ED⊥AB，

∴∠EDA=90°．

又∠C=90°，∠A=∠A，

△AED∽△ABC．

∴

∴

提示：相似三角形的相似比，经常用来计算三角形的边长，是将形转化为数的有力工具

例4．如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，．求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．

分析：要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，

可设法证明

若设，只需证

证明：设，则AB=kA'B', AC=kA'C'．

由勾股定理得：，

∴

∴

∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．

定理：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似.简称HL

直角三角形相似的判定方法有：

(1)HL定理(直角边和斜边定理):任意直角边与斜边对应成比例即可

(2)AA定理：任意两组对应角相等，通常说明一对锐角对应相等即可

【教学建议】教师适当引导，学生自主完成，并引导学生对解题过程中的方法进行总结

让学生积极思考并作答

通过例题的学习，让学生掌握本知识点的常见题型，提高解题能力

环节四

巩固新知

【随堂练习】

练习1.如图:AB=2AC,BD=2AE,且BD⊥AD,AE⊥EC,求证：△ABD∽△CAE

证明：∵BD⊥AD,AE⊥EC,

∴△ABD和△CAE都是直角三角形．

∴

∴Rt△ABD∽Rt△CAE

追问：还可以利用SSS进行证明吗？你来试试吧？

【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当答疑.

自主完成练习的解答过程，遇到问题随时请教教师

通过课堂练习巩固新知，巩固复习本节课内容

环节五

课堂小结

【课堂小结】

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

【教学建议】教师通过思维导图，将本节课的内容进行归纳，帮助学生梳理知识脉络和重难点

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

【课后作业】

教科书习题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.