2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】根据题意，由求解.

【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，

则，

解得：，

故选：B.

2．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.

【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足；

必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.

所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.

故选：B

3．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

4．关于曲线，则以下结论正确的是（    ）

①曲线关于原点对称；

②曲线中；

③曲线是不封闭图形，且它与圆有四个公共点；

④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形.

A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④

【答案】B

【分析】以替换，以替换，方程不变判断①；求出，的范围判断②；联立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．

【详解】解：在曲线中，以替换，以替换，方程不变，则曲线关于原点对称，故①正确；

由，得，得，即或，同理求得或，即，故②正确；

由求得的、的范围可得曲线不是封闭图形，联立，得，

方程的判别式，解得，，，，故曲线与圆有四个公共点，故③正确；

当，时，方程化为，即且，又是方程的一个解，且中，当时，，而时，，所以在时，与有交点，且与均关于直线对称，所以与在上至少有2个交点；与还关于和原点对称，所以方程组至少有8组解，则曲线与曲线不可能有4个交点，故④错误．

故答案为：B．

二、填空题

5．经过、两点的直线斜率为______.

【答案】

【分析】利用斜率公式可求得结果.

【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.

故答案为：.

6．直线的倾斜角为______．

【答案】

【详解】

设直线的倾斜角为直线，直线的斜率为，即，，故答案为.

7．抛物线的准线方程是_______

【答案】

【分析】根据抛物线的标准方程形式求出，再根据开口方向，写出其准线方程.

【详解】对于抛物线，，，

又抛物线开口向右，准线方程为.

故答案为：.

8．椭圆的焦距为______.

【答案】

【分析】根据椭圆的标准方程及间的关系求解.

【详解】由椭圆可知，，

所以，

解得，

所以焦距为.

故答案为：

9．双曲线的渐近线方程是___________．

【答案】

【分析】直接根据渐近线方程公式计算得到答案.

【详解】，，，故渐近线方程为：.

故答案为：.

10．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______.

【答案】

【解析】根据抛物线的定义，得到，即可求得的横坐标.

【详解】设点，因为，

根据抛物线的定义，可得，解得，

即点的横坐标为.

故答案为：2

11．已知直线，则直线恒过定点___________.

【答案】

【分析】本题主要考查直线过定点问题，将直线方程进行整理变形即可求解.

【详解】因为直线可化为，

令，解得：，所以直线过定点，

故答案为：.

12．若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是___________.

【答案】

【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l的斜率，进而求得方程

【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为，

故直线l的斜率，故直线l的方程是，化简可得

故答案为：

13．已知直线与椭圆交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________.

【答案】##.

【分析】利用点差法求解即可.

【详解】设，则

，，

所以，

所以，

因为的中点为，

所以，

所以，

所以，

所以直线的斜率为，经检验满足题意，

故答案为：.

14．设、，是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，且，，则__________.

【答案】4

【分析】先由椭圆的方程求出的值，进而可以求出点到椭圆的两个焦点的距离之和，再由已知分析出点，分别为，的中点，利用中位线定理即可求解．

【详解】解：由椭圆的方程可得：，所以，

则由椭圆的定义可得：，

由，，

可得：点为的中点，点为的中点，

由中位线定理可得，，

所以，

故答案为：4．

15．直线与曲线的公共点的个数是___________.

【答案】

【分析】本题主要考查直线与曲线的位置关系，根据曲线方程，分情况进行讨论即可求解.

【详解】当时，曲线可化为，表示椭圆的右半部分，

因为直线过点，所以此时直线与曲线曲线有两个交点，

当时，曲线可化为表示双曲线的上支和下支的左半部分，此时直线与曲线没有交点，

综上可知：直线与曲线的公共点的个数是.

故答案为：.

16．已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有___________.

【答案】①②④⑥

【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．

【详解】解：是线段的中垂线上的点，，

（1）若在圆内部，且不为圆心，则，，

点轨迹是以，为焦点的椭圆．

（2）若在圆外部，则，，

点轨迹是以，为焦点的双曲线．

（3）若在圆上，则的中垂线恒过圆心，

即的轨迹为点．

（4）若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，

点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆．

综上，点轨迹可能是①②④⑥四种情况．

故答案为：①②④⑥．

三、解答题

17．已知直线.

(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；

(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.

【答案】(1)；

(2)不存在.

【分析】（1）由直线与直线垂直，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）由直线与直线平行，可得直线方程结合条件即得.

【详解】（1）由直线，可得，

因为直线与直线垂直，所以，可得，

又因为直线过点，可直线的方程为，即，

所以直线的方程为；

（2）因为直线与直线平行，

所以直线的斜率为，又直线过点，

所以直线的方程为，可化为，与直线重合，

所以直线不存在.

18．已知圆C：，其中．

(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；

(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解方程即得解；

（2）解方程即得解.

【详解】（1）解：由圆，可得，

则圆心，半径，

由圆，可得圆心，半径，

因为两圆外切，

则，

解得．

（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．

圆心到直线的距离，

又直线与圆相交所得的弦长为，

，解得．

的值为．

19．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号早秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米.

(1)以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；

(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

【答案】(1)

(2)没有“被抓“风险

【分析】（1）设机器鼠位置为点，由双曲线的定义和方程可得的轨迹和方程，及时刻时的坐标；

（2）设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，由判别式为0，解得，再求平行线的距离，结合题意即可判断．

【详解】（1）解：设机器鼠位置为点，由题意可得，

即，

可得的轨迹为双曲线的右支，且，，即有，，，

则的轨迹方程为，

时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；

（2）解：设直线的平行线的方程为，

联立双曲线方程，可得，

即有，且，可得，

即与双曲线的右支相切，

切点即为双曲线右支上距离最近的点，

此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，

则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．

20．已知椭圆，椭圆的长轴长为6，离心率为，为椭圆上一动点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点，求的最小值；

(3)已知，椭圆上的两点满足，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)当时,；当时，

(3)

【分析】(1)由已知条件列方程组解出和，得到椭圆方程.

(2) 设，则，由和的取值范围讨论最小值.

(3)设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用韦达定理和，解出直线方程.

【详解】（1）依题意有：，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设，有，得，，

则，

当时，，当，；

当时，，当，.

（3）依题意，直线过点且斜率存在，设直线方程为，

代入椭圆方程消去，得，

设，，则有，

由，有，则，

所以，解得，即，

所以直线的方程为.

21．已知，动点满足与的斜率之积为3，记动点的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)已知，过的直线交曲线在轴右侧的图像于两点，求面积的最小值；

(3)若直线过交曲线图像于两点，是否存在定点，使得恒成立，若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)9

(3)存在，

【分析】(1)设，由题目条件列等式求方程.

（2）设直线方程，与曲线方程联立方程组，利用韦达定理和弦长公式，得到面积表达式，讨论最小值.

（3）恒成立，转化为求解.

【详解】（1）设，由与的斜率之积为3，有，

得到轨迹的方程.

（2）过的直线斜率不存在时，有，，；

过的直线斜率存在时，设直线方程为，由双曲线方程可得双曲线渐近线方程为，

直线交曲线在轴右侧的图像于两点， 有或，即.

由消去得，设，，

有，，

，

到直线的距离为，，

由，，

综上，直线斜率不存在时，面积的最小值为9.

（3）假设存在定点，使得恒成立，即，

由（2）可得，过的直线斜率存在时，

化简得，当时等式恒成立，解得，即定点.

当过的直线斜率不存在时，有，，点也满足，即.

综上，存在定点，使得恒成立，实数的值为-1.