2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省实验中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ）

A．、、共线 B．、共线

C．、共线 D．O、A、B、C四点共面

【答案】D

【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.

【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，

所以、、共面，

所以O、A、B、C四点共面，

故选：D

2．抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ）

A．1 B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.

【详解】抛物线的焦点坐标为，

其到直线的距离：，

解得：(舍去).

故选：B.

3．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.

【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，

又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，

所以设所求双曲线为，即，

则，解得，

所以所求双曲线为.

故选：A.

4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．

【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，

由题意可得，，，

故，，

解可得，，，

故任意两人所得的最大差值．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

5．设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用等差公数的通项公式得到，再利用等差公数的前项和公式即可得解.

【详解】因为是公差不为零的等差数列，，

所以，得，

令，则，则

所以.

故选：D.

6．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.

【详解】

如图：圆心为，经过原点，可得

则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为

延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，

当圆心在C处时，点到直线的距离最大为

此时，圆上点D到直线的距离最大为

故选：B

【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.

7．已知双曲线的两个焦点为、，点M，N在C上，且，，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据，，由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，且为等腰直角三角形，可得的坐标，分别求出，再根据双曲线的定义即可得出答案.

【详解】解：因为，，

由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，

且为等腰直角三角形，

所有，

如图，则，，，

所以，，

则，即，

则．

故选：D.

8．伦敦奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线屋顶的一段近似看成离心率为的双曲线上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，则可求出焦点坐标和渐近线方程，上焦点为，则由双曲线的定义可得，由双曲线的对称性取一条渐近线，设到的距离为，则将问题转化为求出，而的最小值为到渐近线的距离，从而可求得答案

【详解】因为双曲线的离心率为，

所以，解得，则

双曲线方程为，，

所以下焦点，渐近线方程为，

设上焦点为，则，

由双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，设到的距离为，则

与P到C的一条渐近线的距离之和为

，

因为的最小值为到渐近线的距离，

所以的最小值为，即与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为5，

故选：D

二、多选题

9．已知数列{}的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）．

A．是递增数列 B．是递减数列

C． D．数列的最大项为和

【答案】BCD

【分析】根据，利用二次函数的性质判断D，利用数列通项和前n项和关系求得通项公式判断ABC.

【详解】解：因为，所以数列的最大项为和，故D正确；

当时，，

当时，由，得，

两式相减得：，

 又，适合上式，

所以，故C正确；

因为，所以是递减数列，故A错误，B正确；

故选：BCD

10．设等差数列的前n项和是，若（，且），则必定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据等差数列求和公式即可判断.

【详解】∵，

∴，，

∴,,

故选：AD.

11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（       ）

A．

B．平面

C．向量与的夹角是60°

D．直线与AC所成角的余弦值为

【答案】AC

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．

【详解】解：对于，

，

所以，选项错误；

对于

，所以，即，

，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；

对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；

对于，

所以，

，

同理，可得

，

所以，所以选项正确．

故选：AC．

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点，则的最小值是4

B．

C．若，则直线的斜率为

D．的最小值是9

【答案】ABD

【分析】对于A，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B，设直线AB的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根据与系数的关系，从而可求出的值，对于C，由，可得，化简后将选项B中的式子代入可求出的值，从而可求出直线的斜率，对于D，根据选项B中的式子可求得，则化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确；

设直线AB的方程为，，，由得．

所以，，，，

所以，故B正确；

若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；

，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确，

故选：ABD．

三、填空题

13．已知为等比数列的前n项和，且，，则________．

【答案】

【解析】由题意及等比数列前n项和的性质知，，成等比数列，解得的值，，代入计算即可．

【详解】根据由题意知，，成等比数列，

即8，，成等比数列，所以，

解得．

所以．

故答案为：

14．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为____________．

【答案】

【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.

【详解】因为，，

所以，，，

所以向量在方向上的投影数量为.

故答案为：.

15．在平面直角坐标系中，直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】做出曲线的图象，结合直线过定点，数形结合即可求出结果.

【详解】由题意可知，曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分（含端点），则直线与曲线有两个不同的公共点时，且直线过定点，

可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点，

当过点时，，即，

当直线与圆相切时，，解得，

数形结合可知有两个不同的公共点时实数的取值范围为．

故答案为：.

四、双空题

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，直线PF2与y轴交于点Q，点P在线段上，的内切圆的圆心为，若为正三角形，则=___________，C的离心率的取值范围是___________．

【答案】         

【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点如图所示，则，即可求解，又因为点位于点与之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围．

【详解】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆于点，则如图所示：

依题意得

依题意得点位于点与之间，故

所以，则

化为，解得

故答案为：，

五、解答题

17．已知，，点，．

(1)求的值．

(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；

（2）利用空间向量共线定理得到关于的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得，从而得到点E的坐标.

【详解】（1）因为，，

所以，

则.

（2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设，

因为，，所以，

又因为，

所以，

因为，，

所以，解得，满足，

所以，即，

所以线段AB上存在一点E，使得，且.

18．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式；

（2）应用裂项相消法，求的前项和即可.

【详解】（1）由题意，，解得，

∴.

（2）由，

∴.

19．如图，四边形为平行四边形，，四边形为矩形，且平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）若为的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）由题可得AC⊥BC，AC⊥CF，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCF，再利用面面垂直的判定定理可证；

（2）利用坐标法即求.

【详解】∵四边形为平行四边形，，

∴∠CBA=60°又，

∴在△ACB中，∠ACB=90°，即AC⊥BC，

又平面，

∴AC⊥CF，又，

∴AC⊥平面BCF，又AC平面ACFE，

∴平面平面.

（2）如图以C为原点建立空间直角坐标系，设AB=2，则AD=1，CF=1，AC=，

∴，

则，

设平面的法向量，

∴，

∴令，则，

平面的法向量可取，

∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20．已知数列是等差数列，且，.

(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列，试求出数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.

(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.

【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，

则，因此，，

依题意，，

所以数列的通项公式，.

（2）由(1)知，，

则，

因此，，

，

所以.

21．如图，设点在轴上，且关于原点对称．点满足，且的面积为．

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）以为焦点，且过点的椭圆记为．设是上一点，且，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）设，根据点满足，得到直线的方程为，直线的方程为，两方程联立用c表示点P的坐标，再根据的面积为，由求得c即可.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P，从而由求得a，进而得到椭圆的方程，然后根据求解.

【详解】（Ⅰ）如图所示：

设，

则直线的方程为，直线的方程为．

由 解得

所以．

故的面积．

所以，

解得．

所以点的坐标为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

所以， ．

设以为焦点且过点的椭圆方程为．

则，又，

所以椭圆的方程为．

所以， 即．

因为，所以．

所以．

所以的取值范围是．

22．已知为坐标原点,,分别是双曲线：（,）的左, 右焦点,,若直线与双曲线点的右支有公共点.

(1)求的离心率的最小值;

(2)当双曲线的离心率最小时,直线与交于,两点,求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 由于,所以离心率的最小值即为求的最大值,连接,,要使双曲线的离心率最小,只需最大,即最大,求出关于直线的对称点为,连接,,则即可求出最大值,进而求出离心率最小值;

(2)由(1)可得离心率最小值时的,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设,两点坐标,求出,代入上式即可.

【详解】（1）解:由题知,

,

设关于直线的对称点为,

则,

解得,

故,

连接,,,,

则,

则

,

故最大值为,

,

故双曲线的离心率的最小值为;

（2）由(1)知双曲线的离心率的最小值为,

此时,

双曲线方程为,

联立得,

消去并整理得

,

则有且,

即且,

设,,

则,,

则

,

.

【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:

(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标,

(2)联立直线与圆锥曲线方程,

(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负),

(4)列出满足题意的方程,进行化简.