2022-2023学年山东省临沂第四中学高二上学期12月份月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省临沂第四中学高二上学期12月份月考数学试题

一、单选题

1．数列，则该数列的第n项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可

【详解】设该数列为，

则

以此类推可得，

故选：D

2．椭圆与椭圆的（    ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等

【答案】D

【分析】椭圆的焦点在轴，其对应的与前一个椭圆的长短轴均不同，可知，焦距相等.

【详解】易知

D对；又，故AB错；根据知：C错；

故选：D

3．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【分析】先求出双曲线的右焦点，此焦点是抛物线的焦点，求出

【详解】在双曲线中，,所以右焦点，

是抛物线的焦点，

故选：C

4．在等差数列中，，，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据等差数列的下标和公式易求得答案，注意观察下标之间的关系.

【详解】在等差数列中，

故选:B

5．在等比数列中，且，则（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.

【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；

所以，因为，所以.

故选：C.

6．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层座，第二层座，第三层座，第四层座，第五层座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为，公差为的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ）

A．九层 B．十层 C．十一层 D．十二层

【答案】D

【分析】设该塔共有层，根据等差数列的求和公式计算即可.

【详解】设该塔共有层，则，，解得（舍），即该塔共有层.

故选：D

7．已知两点，点P是椭圆上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】先求出直线AB的方程，然后结合图形，将点到直线的的最大距离转化为求与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的最大距离，再利用两平行线间的距离求出即可

【详解】由两点A（-1，0 ），B（ 0，1），则直线AB的方程为y=x+1，

由图可知，直线y=x+m（m＜0）和椭圆相切于P点时，到AB的距离最大．

联立方程得， 整理得25x2+32mx+16m2-144=0

由于直线y=x+m和椭圆相切，则△=（32m）2-4×25×（16m2-144）=0，解得m= -5或m=5（舍去）

由于y=x+1与直线y=x-5的距离为

则点P到直线AB距离的最大值为 ，

故选B.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系有关的最值问题，涉及了根据两点求直线方程，两平行直线间的距离公式；椭圆中求最值的方法有两类:函数法和数形结合法，本题采用数形结合法，关键是理解与直线AB平行且与椭圆相切的直线所经过的切点到直线AB的距离.最大或最小.

8．设数列满足，，则数列的前19项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列的递推式采用累加法求得，可得的通项公式，采用裂项求和法，即可求得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

又，所以，

则

，

故数列的前19项和为：，

故选：D

二、多选题

9．设是等差数列的前n项和，且，则（    ）

A． B．公差

C． D．数列的前n项和为

【答案】BCD

【解析】根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，即可判断选项、、，

再利用裂项求和即可判断选项D.

【详解】因为数列是等差数列，则，解得：，故选项B正确；

所以，

对于选项A：，故选项A不正确；

对于选项C：，所以故选项C正确；

对于选项D：，

所以前n项和为

，故选项D正确，

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：数列求和的方法

（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；

（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；

（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

10．在数列中，若存在k，使得"且"成立其中，，则称为的一个V值.若数列存在V值，则数列的通项公式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由新定义可知，若数列有值，只需要验证各选项的数列不是单调数列，且存在， 使得“且”成立即可.

【详解】由新定义可知，若数列有值，则数列不是单调数列，且存在， 使得“且”成立.

对于数列，该数列为递减数列，故A选项错误；

对于数列，令，，由，得，则当时，单调递减，当时，单调递增，所以时函数取得极小值，也就是最小值，所以对于数列，有，成立，数列存在值，故B选项正确;

对于数列，令，则，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以时，取得最小值，所以对于数列，有，成立，数列存在值，故C选项正确.

对于数列，令，则是单调递增的一次函数，所以，对于数列，有，成立，数列存在值，故D选项正确.

故选：BCD.

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）

A．a6＞0 B．

C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中的最小项为第六项

【答案】ABC

【分析】根据，即可得到，从而判断选项A；

根据，，a3＝12，，列出和的方程组，从而判断选项B；

根据，判断出，再结合，从而判断选项C；

根据题意得到当时，；当时，；当时，，从而可判断选项D.

【详解】因为，所以，

因为，所以，故选项A正确；

因为，，a3＝12，，

所以，解得，故选项B正确；

因为，，所以Sn＜0时，n的最小值为13，选项C正确；

根据题意知：当时，，当时，；

当时，，当时，，

所以当时，，当时，，当时，，

所以数列中的最小项为第六项显然错误.

故选：ABC.

12．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（    ）

A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为

C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为

【答案】AC

【解析】先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.

【详解】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.

对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；

对于B，当P在双曲线的左支上时，，

故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；

对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.

三、填空题

13．已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．

【答案】

【分析】设△AOB的边长为a，先求A点坐标，再代入抛物线方程，解得a，即得结果.

【详解】如图，设△AOB的边长为a，则A，

∵点A在抛物线y2＝3x上，

∴，∴a＝.

故答案为：

【点睛】本题考查抛物线内接三角形，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知数列满足，且，则_____

【答案】1011

【分析】化简的递推关系，可以判定为常数列，从而求得的通项公式，进而求出

【详解】因为

所以

所以

所以数列为常数列

又

所以

所以

所以

故答案为：

15．已知是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，则的面积=_________．

【答案】

【解析】利用椭圆的定义可以得出，，利用余弦定理可计算的值，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】由椭圆的方程可得：，，，

在中，，，

在中，由余弦定理可得：

即，可得，

解得：，

由三角形面积公式可得的面积为，

故答案为：

【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论

以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则

（1）焦点三角形的周长为；

（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；

（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；

（4）.

16．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.

四、解答题

17．设等比数列的公比为，前项和为，若，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）由，，利用等比数列通项公式和前n项和公式求解；

（2）由（1）得到，代入，利用指数幂的运算求解.

【详解】（1）解：由知：，

所以，，

解得，

所以；

（2）由（1）知，

则，

即，即，

即，

解得.

18．已知数列的前项和为，且，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用化简已知条件，证得数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）因为，所以，

两式相减得，

又，

所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

故数列的通项公式为.

（2）据（1）可得，

所以

，

，

两式相减得

，

化简得.

19．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；第三种，第1天付元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）

(1)分别表示三种方案领取的报酬

(2)他选择哪种方式领取报酬更划算?

【答案】(1)第一种方案领取的报酬为，第二种方案领取的报酬为，第三种方案领取的报酬为

(2)当工作时间小于天时，选用第一种付费方案；当工作时间大于或等于天时，选用第三种付费方案.

【分析】（1）利用题干条件，第一种写出，第二种用等差数列求和公式进行求解，第三种用等比数列求和公式进行求解；

（2）对的取值进行分类讨论，比较、、的大小，即可得出结论

【详解】（1）设该同学到商场勤工俭学的天数为，

则第一种方案领取的报酬为；

第二种方案每天报酬与天数成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得：领取的报酬为；

第三种方案每天报酬与天数成首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得：领取的报酬为.

（2），

当时，；当时，；当时，.

令，

则，

当时，，此时数列单调递减，则；

当时，，此时数列单调递增，即.

，则，

又因为，，故当时，，即，

当时，，即.

令，其中，

则，

令，则，

当时，，此时数列单调递增，则，则，

所以，当时，数列单调递增，则，即.

综上所述，当时，，应选第一种方案；

当时，，应选第三种方案.

20．已知椭圆的右焦点为,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】（I）根据焦点坐标、离心率以及，求得的值，进而求得椭圆的方程.

（II）利用椭圆方程和，求得点的坐标，由此求得的面积.

【详解】(Ⅰ)依题意 ,,  

解得,,

所以椭圆的方程为.

(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①,

因为,所以,得…②,

由①②消去得,,

解得(舍),,  

代入方程②得,所以,   

所以,又,  

所以的面积

【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.

21．正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列，{an}的前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令，数列{bn}的前n项和Tn，求使的最大的n的值．

【答案】（1），（2）1345

【分析】（1）设等差数列的公差为（），由题意可得，求出，从而可䣇得通项公式，

（2）由（1）可求出，则可得，利用裂项求和求出，然后解方程可求得结果

【详解】（1）设等差数列的公差为（），则，

因为a2，a4+2，2a7﹣8成等比数列，

所以，即，

化简得，，解得或（舍去），

所以，

（2）由（1）得，

所以，

所以，

由，得，

，

得，，

因为为正整数，

所以的最大值为1345

22．已知椭圆：的离心率为，且经过点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称.

【解析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可求得椭圆的标准方程；

（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q点坐标.

【详解】（1）有题意可得，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，

设直线l的方程为，由，

联立得，，

设，定点，由题意得，

所以，

因为直线，恰好关于x轴对称，

所以直线，的斜率互为相反数，

所以，即，

所以，即，

所以，即，

所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.

综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.

【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.