2022-2023学年山东省实验中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省实验中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
2．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定形式，即得解
【详解】根据全称命题的否定形式，命题，的否定是：，.
故选：C
3．已知函数，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【分析】把自变量代入即求.
【详解】∵函数，
∴.
故选：D.
4．若在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数对称轴和在区间上是增函数列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于二次函数开口向上，对称轴为，在区间上是增函数，所以，解得.
故选B.
【点睛】本小题主要考查根据二次函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
5．已知函数的定义域为，则函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用抽象函数的定义域求法即可求解.
【详解】函数的定义域为，即，
所以，
所以，解得，
所以函数定义域为.
故选：A
【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质和作差法判断即可.
【详解】A选项：，则，所以，故A错；
B选项：，因为，，所以，，所以，故B错；
C选项：，同乘得，故C正确；
D选项：若，则，故D错.
7．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4B．6C．10D．24
【答案】C
【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.
【详解】，
由的解析式可知，在上是单调递增函数，
再由，得，
即，解得.
故选：C.
【点睛】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.
二、多选题
9．（多选题）已知集合，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.
【详解】由题得集合，
由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.
故选ACD.
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再逐项判断作答.
【详解】函数满足“对任意，，且，都有”，则有函数在上单调递增，
函数在上单调递减，A不是；
函数在上单调递增，B是；
函数在上单调递增，C是；
函数在上单调递增，D是.
故选：BCD
11．一元二次方程有正数解的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意参变分离可得当时，有解，又时所以，故当取负数时为充分不必要条件，即可得解.
【详解】若一元二次方程有正数解，
即当时，有解，
而当时，
即，
故当取负数时，
为一元二次方程有正数解的充分不必要条件，
故选：BD
12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为1
C．若，，，则的最小值为
D．，，，则的最小值为2
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，，，则，
当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，，，则
，当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，，，则有，，
当且仅当，即时取等号，由及得：，所以当时，最小值为，C不正确；
对于D，，，，则，当且仅当时取等号，
因此，当时，取得最大值16，
，
所以当时，的最小值为2，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．函数的定义域为（写成区间形式）__________.
【答案】
【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可得答案
【详解】由题意得
，解得或，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
14．函数的单调递增区间为______.
【答案】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，即，解得：，
所以函数的定义域是，
是由和 复合而成，
因为对称轴为，开口向下，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而单调递增，
所以的单调递增区间是，
故答案为：.
15．对任意，函数，则的最小值是___________.
【答案】0
【分析】根据给定条件，用分段函数表示出，再分段讨论作答.
【详解】由得，，于是得，
当时，在上单调递减，，
当时，在上单调递减，，
当时，在上单调递增，，
所以当时，函数取得最小值0.
故答案为：0
四、双空题
16．设函数的定义域是，对于任意的实数x，y，都有恒成立，已知，且时，，则
（1）___________；
（2）不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】（1）先令，求解，再令，求解；
（2）先证明函数在单调递增，转化，结合函数单调性即得解.
【详解】（1）由题意，令，则，解得，
令，则，解得；
（2）由题意，
函数的定义域是，故,即.
取，故，
又时，，，故，
即，故函数在单调递增；
故，
即
即.又，
故.
故答案为：（1）；（2）.
五、解答题
17．函数满足.
(1)求的解析式；
(2)集合，写出集合的所有子集.
【答案】(1)
(2)，，和
【分析】（1）利用换元法：，求出，即可求出的解析式；
（2）根据求出集合的元素，根据元素即可写出集合的所有子集.
【详解】(1)令，所以，
所以，即；
(2)因为，
，
因为，解得或，所以，
所以集合的所有子集为：，，和.
18．已知集，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式得到集合，再根据并集的概念求出；
（2）由得，再按照和两种情况讨论可求得结果.
【详解】(1)，，
，
(2)因为，所以，
当时，，即时，满足 ；
当，由得，解得，
综上所述：实数a的取值范围是.
19．设．
(1)若命题“对任意实数x，”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可得对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解；
（2）由已知可得，通过对分类讨论得出不等式的解集．
【详解】(1)“对任意实数x，”等价于“对于一切实数恒成立”
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，，即，整理得，解得：；
综上，实数a的取值范围是．
(2)不等式等价于，即
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为
①当时，此时，不等式的解集为
②当时，，不等式的解集为或
③当时，，不等式的解集为或．
20．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
(1)求的解析式：
(2)若在区间上有最小值2，求实数t的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得，又由一元二次不等式的解可知，1和3是方程的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式；（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t≤−1、−1＜t＜2、t≥2三种情况下求符合条件的t值即可．
【详解】(1)由题意可得：
∵不等式的解集为，则的两根为，且
∴，解得
故
(2)由（1）可得的对称轴为
当时，则在上单调递增
∴，则
当时，则在上单调递减，在上单调递增
∴，则或（舍去）
当时，则在上单调递减
∴，则（舍去）
综上所述：实数t的值为.
21．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.
(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】(1)；
(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.
（2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可.
【详解】(1)由题设，当时，令，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴，解得.
∴，
故时，，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.
(2)由（1）知：，
∵时，当且仅当等号成立，
∴上，
而上，单调递减，则，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
22．设函数与函数）的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.
(1)判断函数，是不是集合M中的元素？并说明理由；
(2)设函数，，且，若对任意，总存在，使成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，，理由见解析
(2).
【分析】（1）由已知得，，根据定义可得结论.
（2）由函数，建立方程组可求得.再根据得出函数的单调性，建立不等式可求得实数a的取值范围.
【详解】(1)因为对任意，，所以.
因为对任意，，所以.
(2)因为函数，且，所以，整理得
，解得，或(舍去)，故.
当时，，.
对于函数，且
当时，在单调递减，在单调递增，
故，由题意知，解得.
所以，实数a的取值范围为.