2022-2023学年天津市实验中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市实验中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.

【详解】解：直线的倾斜角，则直线的斜率

故选：C.

2．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】C

【分析】逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.

【详解】对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；

对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；

对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，

对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，

故选：C.

3．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

4．已知与两点间的距离是17，则的值为（    ）

A．8 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接用两点间得距离公式计算即可.

【详解】由两点间的距离公式得：，解得.

故选：D

5．如图．空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】选择基底，利用向量加法的三角形法则转化化简即可.

【详解】如图，.

故选：B.

6．已知直线与直线垂直，则a的值为（    ）

A．1 B．0 C．－1 D．0或1

【答案】D

【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可得到.

【详解】因为两直线垂直，所以，解得或1.

故选：D.

7．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，

【答案】C

【解析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案.

【详解】解：向量，0，，，2， ，

则，， ，

所以向量在向量上的投影向量为

.

故选：C.

8．判断圆与圆的位置关系为（    ）

A．相交 B．内切

C．外切 D．内含

【答案】B

【分析】根据圆的一般式方程分别求出两圆的圆心、半径及圆心距，再判断圆心距与两圆的半径和(差)之间的关系即可得结论.

【详解】解：因为圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

圆心距为，

所以两圆内切.

故选：B.

二、填空题

9．已知，，则______.

【答案】

【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．

【详解】解：，

故答案为：

【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．

10．已知直线经过点，，则直线的斜率为__________．

【答案】.

【分析】根据斜率的计算公式直接代入计算.

【详解】直线经过点，，则.

故答案为：.

11．已知经过椭圆的右焦点F2的直线AB交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长为___________.

【答案】

【解析】利用椭圆的定义即可得到答案。

【详解】如图所示：

，，

所以的周长为

故答案为：

12．已知直线l:和圆心为C的圆,则直线l被圆C截得的弦长为__________．

【答案】

【分析】先求圆心到直线的距离,再计算即可求出弦长.

【详解】圆化为标准方程为:,

圆心,,

,

弦长为.

故答案为:.

13．如图，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，，，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为__________．

【答案】

【分析】构建以为原点， 为轴的正方向的空间直角坐标系，写出、、的坐标，进而求面ABC的法向量，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．

【详解】构建以为原点，为轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，

∴，，，则，，，

若是平面ABC的一个法向量，则，

令，则，

∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.

故答案为：

三、解答题

14．（1）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；

（2）求与圆关于直线对称的圆的方程．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）联立两圆方程可求得交点坐标，进而确定圆心在轴上，设其为，利用半径可构造方程求得和半径，由此可得圆的方程；

（2）由圆的方程可确定圆心和半径，根据点关于直线对称点的求法可求得圆心关于直线对称的点的坐标，即为所求圆的圆心，结合半径不变可得对称的圆的方程.

【详解】（1）由得：或，

即圆与圆交点为和，

所求圆的圆心在轴上，不妨设圆心为，

则，解得：，，

所求圆的方程为：；

（2）由圆的方程知：圆心，半径，

设圆心关于直线的对称点为，

则，解得：，

所求圆的圆心为，半径为，对称的圆的方程为：.

15．直三棱柱中，，，D为中点，E为中点，F为CD中点．

(1)求证：平面ABC；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，则，

易知平面的一个法向量为，则，故，

平面，故平面.

（2），，

设平面的法向量为，则，

取，可得，

，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，则，

因此，平面与平面夹角的余弦值为.

16．椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由已知条件可确定椭圆的a,b,c，从而得到椭圆方程；

（2）对直线讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线，由直线与圆相切可得，然后将直线与椭圆联立，写出韦达定理，由弦长公式即可得到答案.

【详解】(1)由椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为，可得半焦距且，解得，又由，所以椭圆方程为.

(2)由（1）得，圆的方程为，设，

当直线的斜率不存在时，，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立方程组，可得，

所以，，

所以

， 解得或，

所以直线或.