2022届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（含解析）

哈师大附中2021-2022年度高三学年上学期第一次月考

数学试卷（文科）

一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 已知集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

详解】试题分析：由于,因此应选C.

考点：集合的运算．

2. 已知，，，则与的夹角为（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

【答案】A

【解析】

【分析】结合平面向量数量积的定义求出，结合平面向量夹角的范围即可求出结果.

【详解】因为，，，所以，所以，因为，故，

故选：A.

3. 等差数列的前15项和，则（    ）

A. -2 B. 6 C. 10 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质即可得解.

【详解】解：等差数列的前15项和，

∴，

解得，

∴.

故选：B.

4. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】求出的坐标，再由模长公式即可求解.

【详解】因为向量，，

所以，

所以，

故选：A.

5. 若 ，则

A.  B.  C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A．

【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．

【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．

6. 在中，若，，，则（　　）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到a．

【详解】∵，，，

∴，

由正弦定理可得，，

∴．

故选：A

7. 若数列的通项公式为,则数列的前n项和为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.

【详解】因为，

所以数列的前n项和

.

故选C

【点睛】本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.

8. 如图是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|)的部分图象，则f()＝（    ）

A. － B. －1 C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据“五点法”求得函数解析式，然后可求得函数值．

【详解】由题意，所以，，

，，又，所以，

所以，．

故选：A．

9. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

【详解】当时，，又因为，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即，

因为与两坐标轴的交点坐标为和，

所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.

故选：B.

10. 将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】根据三角函数的周期变换和平移变换规律，求出变换后的解析式，结合三角函数的性质即可求出的最小值．

【详解】解：函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），可得，

再向右平移个单位，可得，其图象关于直线对称，

即，，

所以 ，

，

当时，可得的最小值．

故选：D．

11. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】通过函数的奇偶性，，，可分别排除D，C，B，即得解

【详解】因为，所以是奇函数，排除D；

当时，，．

由，可排除C；，排除B

故选：A

12. 已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】因为数列的前n项和，

当时，；

当时，满足上式，

所以，

又，恒成立，所以，恒成立；

令，

则对任意，显然都成立，

所以单调递增，

因此，即的最小值为，

所以，即实数的最大值是.

故选：C

【点睛】思路点睛：

根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.

二.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数在上的最大值为_____.

【答案】##

【解析】

【分析】求导分析单调性，可得在单调递减，单调递增，比较即得解

【详解】由题意，

令

当，故在单调递增；

当，故在单调递减；

当，在单调递减，单调递增

且

故函数在上的最大值为

故答案为：

14. 已知，，则的值为________________

【答案】

【解析】

【分析】由两边平方可求，再由平方关系求.

【详解】由题得，，所以，

又，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

15. 已知奇函数满足，且当时，，则的值为___________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，分析可得，即函数是周期为4的周期函数，由此可得，结合函数的奇偶性和解析式可得的值，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数满足，则，

所以函数是以为4为周期的周期函数，

则，

又由为奇函数且当时，，则，

所以，

故答案为：1．

16. 递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则_______.

【答案】364

【解析】

【分析】由等比数列的性质将化为，再由可求出，然后列出关于的方程组，求出，进而可以求出结果

【详解】设等比数列的公比为，

由得，

由，解得或，

因为数列为递增数列，所以，

所以，得，

因为等比数列每一项都是正数，所以，

所以，

所以，

故答案为：364

三.解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17. 已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，且a1＋2，a2＋5，a3＋13构成等比数列{bn}的前三项.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）求数列{anbn}的前n项和Tn.

【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝5·2n－1；（2）Tn＝5[(2n－1)2n＋1].

【解析】

【分析】（1）根据已知条件分别求出等差数列的首项和公差，等比数列的首项和公比，从而让可求得数列的通项；

（2）利用错位相减法即可求得数列的前n项和Tn.

【详解】解：(1)设等差数列的公差为d，则由已知得：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，即a2＝5，

又(5－d＋2)(5＋d＋13)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去)，a1＝a2－d＝3，

∴an＝a1＋(n－1)×d＝2n＋1，

又b1＝a1＋2＝5，b2＝a2＋5＝10，

∴q＝2，∴bn＝5·2n－1；

(2)由（1）得，

∵Tn＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1]，

2Tn＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n]，

两式相减得－Tn＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n]＝5[(1－2n)2n－1]，

则Tn＝5[(2n－1)2n＋1].

18. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）若锐角满足，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据最小正周期的计算公式求解出最小正周期；

（2）先根据结合诱导公式求解出的值，然后根据二倍角公式求解出的值.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以最小正周期；

（2）因为，所以，

又因为，且为锐角，

所以.

19. 数列前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由，利用数列通项公式和前n项和的关系，得到，再利用等比数列的定义求解；

（2）根据和成等比数列，求得，再由，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

即，

当时，，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以.

（2）设公差为，由，得，

因为成等比数列，

所以，即，

解得或（舍去），

所以，

所以.

所以，

因为，

所以，

20. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．

（1）求角的大小；

（2）当时，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．

【详解】解：（1）由及正弦定理得，

所以，所以，

所以，由，可得；

（2），，所以，

所以：

，

因为为锐角三角形，则，解得，

所以，，则，

所以，.

21. 已知抛物线：上的点到焦点的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.

（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.

【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，

由点到焦点的距离为，得，解得，

所以抛物线的标准方程为．

（2）设，，

显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，

联立消去得，

由得，即．

所以，．

又因为，，

所以，

所以，

即，

解得，满足，

所以直线的方程为．

22. 已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）证明：对任意，都有．

【答案】（1）在区间单调递减，在区间单调递增，极小值为，无极大值；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由，得到，再利用导数法求解；

（2）先利用导数法得到，，然后将对任意，都有，转化为，，即，证明.

【详解】（1）因为，

所以，

则函数的定义域为，

而

因为，令，解得；令，解得，

所以在区间单调递减，在区间单调递增，

故函数有极小值为，无极大值；

（2）因为，，

所以，

因为，令，可得（舍）或，

令，得，令，得，

故在区间单调递减，在区间单调递增

所以，，

若对任意，都有，

只需证，，

即证，，

，，

令，，

只需证

，所以函数在单调递增，

，

对任意，都有，．

【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路．