2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二下学期6月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．下列命题中正确的是（       ）

①与表示同一个集合

②由1，2，3组成的集合可表示为或

③方程的所有解的集合可表示为

④集合可以用列举法表示

A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对

【答案】C

【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．

【详解】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；

对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；

对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；

对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.

综上可得只有②正确.

故选：C.

2．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，分别讨论和的情况即可得到答案.

【详解】因为，

当时，，符合题意；

当时，，

因为，所以或，解得或.

故实数的所有可能的取值组成的集合为.

故选：A

【点睛】本题主要考查集合的子集关系，同时考差了分类讨论的思想，属于简单题.

3．已知，，若集合，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.

【详解】因为，

所以，解得或，

当时，不满足集合元素的互异性，

故，，，

故选：B.

【点睛】易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.

4．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率（       ）

A． B． C． D．以上都不对

【答案】B

【分析】根据题意第一次抽到A牌后剩余51张扑克牌，剩余A牌3张，进而求解即可

【详解】由题意，第一次抽到A牌后剩余51张扑克牌，剩余A牌3张，故第二次抽到A牌的概率为

故选：B

5．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（       ）

A．0.21 B．0.06

C．0.94 D．0.95

【答案】D

【分析】根据全概率公式进行求解即可.

【详解】令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2．由全概率公式得：

P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95．

故选：D．

6．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）

A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90

【答案】D

【详解】的展开式中通项公式：，令，解得 ，，的系数，故选D．

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

7．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（       ）

A．14 B．12 C．24 D．28

【答案】A

【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.

【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：

①丁扶贫点最先去，有种安排方法；

②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，

综合①②知共有种安排方法.

故选：A.

8．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程任选2门的选法种数，再求出甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法种数，进而由古典型概率的计算公式可求得结果.

【详解】甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程任选2门的选法共有种；

其中，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有种，

所以，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率.

故选：C.

9．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（       ）

A．(－∞，0] B．[0，1)

C．(－∞，1) D．[0，+∞)

【答案】C

【分析】根据分段函数的表达式，得知当时，，结合题意，可知函数和的图象有且只有两个交点，画出函数的图象，从而可求得实数的取值范围.

【详解】解：当时，，故，

当时，，故，

以此类推，当时，，

由题可知，方程有且只有两个不相等的实数根，

则和的图象有且仅有两个交点，

由此画出函数和的图象如下图所示，

由图可知的取值范围是时，即方程有且只有两个不相等的实数根.

故选：C.

10．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.

【详解】令，可得，则，

二项式的展开式通项为，则.

当为奇数时，，当为偶数时，，

因此，.

故选：A.

【点睛】结论点睛：一般地，若.

（1）；

（2）展开式各项系数和为；

（3）奇数项系数之和为；

（4）偶数项系数之和为.

11．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（       ）

A．180 B．192 C．420 D．480

【答案】C

【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数.

【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.

若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.

若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）.

若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）.

综上，共有不同的涂色方案数为（种）.

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.

12．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据题中条件求出函数的周期和对称轴，再根据函数的单调性求出函数在上整数解的分布，即可求出实数a的取值范围.

【详解】由题知偶函数满足，

所以，

所以函数的周期为，且关于直线对称，

当时，，

因为当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

所以当时，函数取极大值，也是最大值，

且，，，，，

所以，

由于上含有个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，

所以不等式在上有且只有300个整数解，

等价于不等式在上有且只有3个整数解，

所以只需在上有且只有3个整数解即可，

易知这三个整数解分别为,,，

有，

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的周期性，利用导数求解函数的单调性，属于一般题.

二、填空题

13．已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若、，将问题转化为与的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得、、，根据目标式求范围即可.

【详解】由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.

∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，

由图知：，且，

∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，

∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，

∴，即.

综上，的范围为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：将问题转化为函数的交点问题，应用数形结合法判断交点横坐标的范围及关系式，根据目标式求范围.

14．已知函数，则的解集为____________.

【答案】

【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性将转化为，解不等式即可.

【详解】由题意知，定义域为R，，故为奇函数，又，故为增函数，由可得，即，解得.

故答案为：.

15．若函数满足，若在单调递减，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据函数为奇函数可知函数在上单调递减且，列出不等式组求解即可.

【详解】,

是R上的奇函数，

在上单调递减且，

则由可得，或，

解得或，

所以不等式的解集为.

故答案为：

16．已知是周期为4的奇函数，当时，，当时，．若直线与的图象在内的交点个数为m，直线与的图象在内的交点个数为n，且，则a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】先根据题意作出在上的图象，根据，得到关于a的不等式，解不等式可得.

【详解】依题意可作出在上的图象，如图所示．

因为，所以由图可知，

解得．

故答案为：

【点睛】数形结合法求零点个数：根据题意转化为，分别做出和的图象，观察交点的个数即为零点的个数．

三、解答题

17．设函数定义域的集合为，．

(1)求集合；

(2)设，关于的不等式的解集为D，若是的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域结合一元二次不等式得解法即可求解；

（2）先求出集合，将不等式转化为，再利用充分条件即可求出实数m的取值范围.

【详解】(1)解：函数定义域的集合为

∴，

解得或，

∴．

(2)解：由（1）知，

∴，又

∴，

∵的解集为D，

即，

当时，，

∵是的充分条件，

∴，

∴实数m的取值范围为．

18．在二项的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求展开式中各项的系数和.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；

（2）在二项式的展开式中，令，可得各项系数和.

【详解】(1)解：展开式的通项为，.

由已知: 、、，成等差数列，

即，所以.

二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即

；

(2))令，各项系数和为.

19．已知函数是定义在上周期为的奇函数

(1)求的值

(2)若时，求时的解析式

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据周期为4可得，根据奇函数可得，即可求解.

（2）根据周期的性质即可求解.

【详解】(1)∵函数是定义在上周期为的奇函数,

(2)设，则

20．已知为定义在R上的奇函数．

（1）求a；

（2）若关于x的等式在上有实数解，求k的取值范围．

【答案】（1）5；（2）.

【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，变形可得的值，即可得答案，

（2）根据题意，分析的单调性，由此可得原不等式等价于，即在上有实数解，分析可得答案．

【详解】解：（1）根据题意，因为为定义在上的奇函数，

所以，即，

解得．

（2）由（1）知，因为与都是增函数，

所以在R上单调递增

由，得，因为是奇函数，

所以，

所以，

即在上有实数解，

因为，所以，故k的取值范围为．

21．某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：

（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；

（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节､各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

【答案】（1）有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：（分）.

【分析】（1）补充列联表中的总计，再代入公式计算，比较结果和0.05对应的数字3.841的大小关系；

（2）根据两个环节、两个项目之间相互独立，的所有可能的取值为

.分别计算其对应的概率，写出分布列，再根据分布列计算期望值.

【详解】解：（1）补充列联表如下表：

，

有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.

（2）的所有可能的取值为.

’

的分布列为

（分）

22．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：

表1：

根据以上数据，绘制了如图1所示的散点图.

参考数据：

其中

参考公式：

对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

(1)根据散点图判断，在推广期内，与 (均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表1中的数据，求关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2所示：

表2：

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠.根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为，根据所得数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用.

【答案】(1)适宜

(2)，3470

(3)1.66元

【分析】（1）根据散点图连线的图像与指数函数接近判断即可；

（2），两边同时取常用对数得: ;设，得，再根据线性回归方程的求法，代入数据计算可得，再代入计算即可

（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为:，再根据题意计算分布列，结合数学期望的公式求解即可

【详解】(1)根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型;

(2)∵，两边同时取常用对数得: ;

设

，

，

把样本中心点代入，得:，

，

关于的回归方程式:;

把代入上式:;

活动推出第8天使用扫码支付的人次为;

(3)记一名乘客乘车支付的费用为，

则的取值可能为:;

的分布列为

(元)

故估计一名乘客一次乘车的平均费用为1.66元