2021-2022学年河北省邯郸市魏县第三中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省邯郸市魏县第三中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是

A．0与的意义相同 B．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合

C．集合是有限集 D．方程的解集只有一个元素

【答案】D

【详解】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D．

2．已知集合，满足，则下列关系中：①；②；③；④.一定正确的是（    ）

A．①② B．③④ C．③ D．④

【答案】B

【分析】根据集合间并集运算的结果判断集合间关系，逐一判断对错.

【详解】由得，即④正确；，即③正确；

故选：B.

3．若，则“”是 “”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

4．已知，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【分析】由,结合不等式的性质判断A；利用特殊值判断BCD.

【详解】由，又因为所以成立， A正确；

当时，成立，不成立，B错；

当时，成立，不成立，C错；

当时，不成立，D错.

故选：A.

5．已知关于x的不等式的解集是，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可．

【详解】由不等式的解集是，得到，

即方程的两个根分别为，．

由韦达定理：，，所以，

代入所求不等式化简得：，

即，

解得：

则不等式的解集为

故选：A

【点睛】关键点点睛：由不等式的解集可得出二次函数的开口方向及零点，再由根与系数的关系求出的关系，转化不等式就可以解不等，属于中档题.

6．已知是实数集，，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合A,B,由图可知阴影部分表示集合为，根据交集、补集运算即可.

【详解】由图可知阴影部分表示的集合为,

，，

故选：A

7．若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是

A．1 B． C．9 D．16

【答案】B

【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.

【详解】∵，∴，

又∵，，

∴

，

当且仅当，

即，时取等号,

的最小值是,故选B.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

8．已知且，求4a-2b的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用待定系数法，结合不等式的性质进行求解即可.

【详解】设，

因为，

所以，所以，

故选：B

二、多选题

9．设.若，则实数a的值可以为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】ACD

【分析】对进行分类讨论，结合求得的可能取值.

【详解】，解得或，所以，

当时，，满足.

当时，，

由于，所以或，

解得或.

综上所述，的值可以是.

故选：ACD

10．下列命题为真命题的是（     ）

A．“”是“”的充分不必要条件；

B．命题“，”的否定是“，”；

C．若，则；

D．设、，则“或”的必要不充分条件是“”.

【答案】AB

【分析】本题首先可通过也有可能是负数得出A正确，然后通过全程命题的否定是特称命题判断出B正确，再然后通过判断出C错误，最后通过“”是“或”的充分不必要条件判断出D错误.

【详解】A项：若，则；若，则也有可能是负数，

故“”是“”的充分不必要条件，A正确；

B项：全程命题的否定是特称命题，

则命题“，”的否定是“，”，B正确；

C项：若，，则，C错误；

D项：若，则或；

若，，则，

故“”是“或”的充分不必要条件，D错误，

故选：AB.

11．在下列所示电路图中，下列说法正确的是（    ）

A．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件

B．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件

C．如图所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件

D．如图所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件

【答案】ABC

【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】对于选项A，由图①可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项A正确.

对于选项B，由图②可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项B正确.

对于选项C，由图③可得，开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项C正确.

对于选项D，由图④可得，开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项D错误.

故选：ABC.

12．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由题意得，，然后结合射影定理可得，，从而可判断．

【详解】因为，，所以，

由题意得，，

由射影定理可得，，

由，得，当且仅当时取等号，A 正确，BCD 不正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．若时，的最大值是____________.

【答案】-7

【分析】变换，直接利用均值不等式得到答案.

【详解】.

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：

14．已知集合，，，，，若，则实数的值为_______.

【答案】

【分析】根据题意对的值分情况讨论，分别检验是否符合题意，即可求出的值．

【详解】解：，且元素之间互异，

，

①当时：，此时集合，，，集合，，符合题意，

②当时：，此时集合，4，，集合，，不符合元素的互异性，故舍去，

③当时：或2，此时不符合元素的互异性，故舍去，

综上所求：，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，做题时注意集合元素的互异性，是基础题．

15．设集合，，若，则集合的子集的个数为__________．

【答案】

【分析】由确定值，然后求出，从而得到子集的个数.

【详解】若，则或

当时，，此时，不符合集合的互异性，故舍去，

当即时同上舍去，故，此时，，

集合的子集有

所以集合的子集的个数为.

故答案为：8.

16．若，使成立是假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.

【详解】若，使成立是假命题，

则“，使得成立”是真命题，

即，恒成立，

因为时等号成立，

所以，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．集合，．

（1）求，；

（2）若集合，，求的取值范围．

【答案】（1）或，或；（2）.

【分析】（1）先求出集合A、B，再根据集合的交并补运算即可求解；

（2）分和两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.

【详解】解：（1）因为，

或，

或，

所以或，或；

（2）当时，显然，此时，即；

当时，由题意有或，解得，

综上，.

18．已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x+y的最小值..

【答案】(1)64

(2)18

【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；

（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.

【详解】（1）∵， ， ，

∴ ，当且仅当时取等号，

∴

∴，当且仅当时取等号，

故的最小值为64.

（2）∵，则 ，

又∵， ，

∴，

当且仅当时取等号，

故的最小值为18.

19．设集合

（1）若是的必要条件，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）是的必要条件可转化为，建立不等式求解即可；

（2）假设，建立不等关系，有解则存在，无解则不存在.

【详解】，

（1）由已知得：

，

即实数的取值范围，

（2）假设存在满足条件，

则或，

即存在使.

【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了必要条件，属于中档题.

20．（1）已知，都是正数，且，求证：；

（2）已知，，都是正数，求证：.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【详解】试题分析：（1）利用作差法，变形，可得，从而得证；（2）根据基本不等式可得，，①，同理②，③，以上三个式子相加即可得证．

试题解析：（1），∵，都是正数，∴，

又∵，∴，于是，即，

∴；（2）∵，，∴①，

同理 ②，③，

①②③相加得，从而，

由，，都是正数，得，因此．

【解析】1．作差法证明不等式；2．基本不等式．

21．为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，处理成本 (单位：万元)与处理量 (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．

(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？

(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

【答案】(1)国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损；

(2)处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少.

【分析】（1）求二次函数最大值即可判断；

（2）根据基本不等式即可求得最小值.

【详解】（1）当时，设该工厂获利为，

则，

所以当时，，

因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损．

（2）二氧化碳的平均处理成本，

当时，，

当且仅当，即时等号成立，

故取得最小值为，

所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．

22．设函数.

（1）若不等式的解集为，求、的值；

（2）若，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）见解析.

【分析】（1）由题意知，与是方程的两根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出、的值；

（2）由，将所求不等式变形为，然后对进行分类讨论，并比较与的大小关系，即可得出不等式的解集.

【详解】（1）由不等式的解集为，

可知方程的两根为和，且，

由根与系数的关系可得，解得；

（2）当，不等式即，

即.

①时，不等式可化为，，所以或；

②时，原不等式可化为.

当时，，所以；

当时，原不等式可化为，所以；

当时，，所以.

综上：当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．