2021-2022学年河北武强中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年河北武强中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北武强中学高二上学期第三次月考数学试题一、单选题1．已知等差数列满足，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，所以，故选：D.2．设等差数列的前项和为，若，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量的关系式，计算，然后代入等差数列前项和公式计算.【详解】由题意，数列为等差数列，所以，，联立得，所以.故选：A3．等比数列的各项均为正数，且，则（       ）A． B． C．10 D．【答案】C【分析】根据等比数列下标的性质即可求解.【详解】∵，∴，∴.故选：C.4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（       ）A．255 B．127 C．63 D．31【答案】A【分析】基本量列方程即可求解【详解】因为，，公比，所以，，解得，，则故选：A5．函数在处的切线方程为(       )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒【详解】，，，，在处的切线为：，即﹒故选：C﹒6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（       ）A．50种 B．60种 C．70种 D．80种【答案】D【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法；则一共有种不同的选法.故选：D.7．函数的部分图象为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶函数的定义可得为偶函数，利用导数求出的零点不是极值点，进而得出答案.【详解】为偶函数，关于轴对称，排除AB．时，．的零点不是极值点，排除D，故选：C．8．已知方程在上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件将方程解的个数等价转化成两个函数与图象交点个数，再借助导数即可推理作答.【详解】作出函数与的图象，如图，当时，两个函数图象至多有两个公共点，而方程在上恰有3个不等实数根，则，当时，方程在上只有一个实根，方程在上恰有3个不等实数根，等价于方程在上恰有2个不等实数根，即函数在上恰有2个零点，，，当时，，则在上单调递增，在上最多一个零点，于是有，当时，，当时，，即有在上递减，在上递增，因此，，且在上的两个零点分别在区间与内从而有，解得，所以实数的取值范围是.故选：B【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.二、多选题9．设等差数列的前项和为．若，，则（        ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC10．若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（          ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求函数的定义域及导数，求出单调区间，结合所给区间列出关于的不等关系，结合选项可求正确答案.【详解】定义域为，；由得函数的增区间为；由得函数的减区间为；因为在区间上单调，所以或解得或；结合选项可得A,C正确.故选：AC.11．设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（       ）A．1 B．2 C．e D．3【答案】ABD【分析】由确定的单调性，结合恒成立确定正确选项.【详解】，令解得，所以在递减，在递增，在取得极小值也即是最小值，依题意恒成立，即，时，符合，时，符合，时，符合，由于，所以C选项不符合.故选：ABD12．已知函数，则（       ）A．函数无最小值B．函数有两个零点C．直线与函数的图象最多有3个公共点D．经过点可作图象的1条切线【答案】AC【分析】首先对函数求导，得到函数的单调性，研究其走向，画出函数图像，判断A、B的正误，利用直线过定点旋转可以判断C项正误，分(2,0)是切点和不是切点两种情况讨论得D项正误，从而得正确选项.【详解】由题可得的定义域为，，所以函数在，上均单调递增，当且时，，当时，，当时，，作出的大致图象如图所示，所以函数无最小值，A正确；易知，结合选项A可知，函数有且只有一个零点， B错误；易知直线过点，数形结合可知，当k足够大时，直线与的图象有两个交点，与的图象有一个交点，故直线与函数的图象最多有3个公共点，C正确；易知点在的图象上，故以为切点可作曲线的一条切线，当不为切点时，设切点为，则，即，得， 故经过点可作图象的2条切线，D错误.故选：AC.三、填空题13．在正项等比数列中，公比为q，若，则___________.【答案】9【分析】根据，利用等比数列的性质求解.【详解】因为，由等比数列性质可得，所以，又因为数列为正项等比数列，解得，故答案为：914．函数的单调递减区间是______.【答案】【分析】求出导函数，由求得减区间．【详解】函数的定义域为，函数的导数为，由，得，即，即函数的单调递减区间为，故答案为：.15．函数与直线相切，则实数a的值为______．【答案】【分析】设切点为，进而根据题意的①，②，③，解方程即可得答案.【详解】解：设切点为，则因为函数与直线相切所以①，②，③，所以由①②③联立解得故答案为：16．已知函数，，若存在2个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】由存在2个零点，可知函数的图象与直线有两个不同的交点，画出函数图象，根据图象求解即可【详解】由，得，所以存在2个零点，可得函数的图象与直线有两个不同的交点，的图象如图所示，由，得所以直线恒过点，由图可知，当时，直线与的图象恒有两个不同的交点，当时，设直线与函数相切于点，由，得，则，解得，所以当时，直线与的图象恒有两个不同的交点，综上，当，或时，直线与的图象恒有两个不同的交点，所以实数m的取值范围为，故答案为：四、解答题17．在等差数列中，．(1)求数列的首项和公差d；(2)设数列的前n项和为，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.（2）由来求得取得最小值时的值，进而求得的最小值.【详解】(1)依题意.(2)由（1）得，由解得，所以的最小值为.18．已知函数在处取得极值.(1)求的值；(2)求在上的最小值；【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据极值点的性质求解即可；（2）求导求单调性，求出极值和端点函数值即可确定最值.【详解】(1)因为，所以，因为在处取得极值，所以，即解得，经检验，a=1满足题意.(2)由（1）知，所以，所以，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上的最小值为.19．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.20．已知函数的图象在点处的切线与直线平行（e是自然对数的底数）.(1)求函数的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导函数，利用导函数的几何意义和两直线平行的条件可求得a得函数的解析式；（2）不等式等价于在上恒成立，进行参变分离得.令，运用导函数的符号，分析函数的单调性，求得其最值，从而求得实数k的取值范围.【详解】(1)解：由题意得，所以，又的图象在点处的切线与直线平行，所以，解得，所以.(2)解：在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以.令，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故，即实数k的取值范围是.21．已知是正项等比数列，为等差数列，且，，，．(1)求和的通项公式；(2)若（），求数列的前n项和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）设出数列的公比、的公差，再根据给定条件列式计算即可作答；（2）由（1）的结论求出数列的通项，再利用错位相减法计算作答.【详解】(1)设正项等比数列的公比为，由得：，解得，又，则，于是得，解得，，所以的通项公式是；设等差数列的公差为d，依题意，，由得：，则有，所以的通项公式是.(2)由(1)知，，则，于是得，即有，所以.22．设函数.(1)若在点处的切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间. 【答案】(1)，；(2)答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【详解】(1)的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.(2)由（1）知：.①当时，在上恒成立，所以在单调递减；②当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增 所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.