2022-2023学年河北省邢台市六校联考高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省邢台市六校联考高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合的交并补运算即可求解.

【详解】，，，

故．

故选:D

2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式.

【详解】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，

人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.

故选：B.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断.

【详解】因为，所以，

所以，即，

所以，所以，即，

若，则满足，而此时，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．若命题，则：（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为为全称量词命题，所以．

故选：A

5．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ）

A．28 B．23 C．18 D．16

【答案】B

【分析】根据所给公式即可代入求解.

【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，，

所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23．

故选：B

6．若，，则一定有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用不等式的基本性质，结合特殊值法，逐一进行判断，即可得到结论．

【详解】解：对于A、B，∵，

∴，

∵ ，

∴，即，故A正确，B错误；

对于C、D，令，满足，

但，故C、D错误．

故选：A．

7．已知为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

8．已知，则“成立”是“成立”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法、绝对值的性质进行判断即可．

【详解】充分性：若，则，所以；

必要性：根据绝对值的性质：若，则，

若，且，则有．

所以“成立”是“成立”的充要条件．

故选：C．

9．若正数满足，则中最大的数的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】设b,，则，根据，，得到，解得，验证时成立，得出答案．

【详解】不妨设b,，则，即，

因为，所以，

所以，

所以，

又 ，

得，又，所以，

当时，当且仅当或时，中的等号成立，

所以a，b，c中最大的数的最小值为5，

故选：．

【点睛】此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，

二、多选题

10．下列说法中，正确的是（    ）

A．的近似值的全体构成一个集合 B．自然数集中最小的元素是0

C．在整数集中，若，则 D．一个集合中不可以有两个相同的元素

【答案】BCD

【分析】根据集合中的元素特征以及常见数集即可逐一判断.

【详解】因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故A错误：

因为自然数集中最小的元素是0，所以B正确；

若，则也是整数，即，故C正确；

同一集合中的元素是互不相同的，故D正确．

故选：BCD

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．函数的最小值是2

【答案】BC

【分析】运用不等式的性质，以及基本不等式的性质运算即可.

【详解】解：由时，得，选项A错误；

由，得，又，所以，选项B正确；

若，则，选项C正确；

，令，则，

因为在上单调递增，则，即，选项D错误.

故选：BC

12．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（    ）

A．存在一个数，使得

B．对于任意一个数，都能使成立

C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件

D．“整数，满足，”的必要条件是“”

【答案】CD

【分析】对A，假设存在一个数，使得，从而推出矛盾即可；对B，举反例判断即可；对C，设整数，属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判断即可；对D，设，，，判断即可.

【详解】对于A，假设存在一个数，使得，则，，，显然不成立，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若整数，属于同一“类”，则整数，被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数，被6除所得余数相同，故“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，故C正确；

对于D，若整数，满足，，则，，，，所以，，所以，故D正确．

故选：CD．

13．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。

【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；

对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；

对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．

故选：ACD．

14．已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.

【详解】A选项，由于，故，所以，正确；

B选项，取 知不成立，错误；

C选项，取知不成立，错误;

D选项，由于得， 而， 故，正确.

故选：AD

15．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（    ）

A．，满足戴德金分割

B．没有最大元素，有一个最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素

D．没有最大元素，也没有最小元素

【答案】BD

【分析】根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.

【详解】对于选项A，因为，，，故A错误；

对于选项B，设，，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；

对于选项C，若有一个最大元素，有一个最小元素，若，一定存在使不成立；若，则不成立，故C错误；

对于选项D，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确．

故选:BD．

三、填空题

16．已知集合，集合，若，则实数__________．

【答案】0

【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；

【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故．

故答案为：.

17．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，p是q的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由祖暅原理可知，由在同一高处的截面积总相等，可得的体积相等，

即，所以必要性成立；

反之：若两几何体的体积相等，但两几何体的体积不一定相等，

即，所以充分性不成立,

所以是的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

18．若集合，，且，则实数的取值范围是_________________．

【答案】

【详解】由，可知是 的子集.

当时，，得；

当时，有

解得，所以.

19．“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .

【答案】

【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.

【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，

即“，”是真命题，

当时，，不等式显然成立，

当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，

综上，实数的取值范围为.

故答案为：.

20．已知正数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.

【详解】解：由，得，

则

，

当且仅当，即，，即时取“等号”，

所以当时，

的最小值为．

故答案为：

四、解答题

21．已知集合.

(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若命题“”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据条件关系可得集合的包含关系，从而可求实数的取值范围；

（2）根据交集的结果可得关于的不等式组，从而可求其取值范围.

【详解】(1)因为是的充分条件，故，

故，故.

(2)因为，故或，

故或.

22．已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)当时，求；

(2)若______，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)选择①，；选择②，；选择③，

【分析】(1)取化简，化简，再根据交集的定义求；

(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.

【详解】(1)由题意得，.

当时，，

∴；

(2)选择①.

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时， ，此时，不满足，舍去.

综上，实数a的取值范围为.

选择②.

当时，，满足；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，.

综上，实数a的取值范围为.

选择③.

当时，，，∴，满足题意；

当时，，，要使，则，解得；

当时，，，此时，，满足题意.

综上，实数a的取值范围为.

23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】(1)由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

(2)∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

24．设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.

(1)计算：；

(2)，是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；

(3)若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素.

【答案】(1)

(2)，都有成立，证明见解析

(3)

【分析】（1）按照题设规定即可求得；

（2）将，代入运算规定即可；

（3）按照题设条件得出，按照运算规则得出，此时要分类讨论为0的情况，而得出之后要代入题设验证，这样充分性必要性都得到了证明，即可得出结论.

【详解】(1).

(2)，都有成立，证明如下：

依题意，设，则，

，

所以.

(3)若中的元素，都有成立，则由（2）知，只需成立，

设，即，则，

当时，显然有成立，即元素为中任意元素，

当时，则，解得，

因此，当，都有成立时，得，

反之，当时，，

设，

所以“中的元素”是“，都有成立”的充要条件，元素.