2022-2023学年河北省邯郸市魏县高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市魏县高一上学期期末考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河北省邯郸市魏县高一上学期期末考试数学试题

一、单选题
1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解.
【详解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件.
如下图是一个周期为得函数，

得不出，
所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件.
所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】当命题为p真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，可求出 a≤1，当命题q为真时，为二次方程有解问题，用“ ”判断，可得a≤﹣2或a≥1，先判定“且”是真命题，即p真q真时，的范围，再求出实数a的补集即可．
【详解】当命题为p真时，即：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，
即当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，
又当x＝1时，x2﹣a取最小值1﹣a，
所以1﹣a≥0，
即a≤1，
当命题q为真时，即：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，
所以＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，
所以a≤﹣2或a≥1，
又命题“p且q”是真命题，
所以p真q真，
即，
即实数a的取值范围是：或；
故命题“p且q”是假命题时，实数a的取值范围是且.
故选：D．
4．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【分析】由条件可知有对称轴，对称中心，推出具有周期性，由求得的值，可分别计算，结合周期性计算即可.
【详解】因为是偶函数，所以，所以，
所以函数关于直线对称，
又因为，所以，
所以，所以关于点中心对称，
由及得
所以
所以函数的周期为，
因为当时，（且），且，
所以，解得：或，因为且，所以.
所以当时，，
所以，，，
，，，
，所以，
所以,
故选：.
5．下列命题中，正确的有（    ）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；
对于②，由抽象函数的定义求解即可；
对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；
对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.
【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对
对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；

于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；

故选：C
6．已知定义域为R的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a，使得关于x的不等式在区间上恒成立，则正整数n的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在上的值域，再由不等式有或求a的范围，进而求出正整数n的范围.
【详解】由题设，，又，
联立可得：，，
又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，
所以，在上，
而在上递增，故，
若，则且n为正整数，只需即可.
若，则且n为正整数，不成立；
综上，正整数n的最小值为2.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.
7．定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（    ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解.
【详解】令，作出函数的大致图象，

当时，，
故函数的图象关于直线对称，
因为关于的方程恰有个不同的实数根，
则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，
设方程的两根分别为、，且，则，
所以，，，
因此，.
故选：C.
8．已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得当时，，且，令，得或，结合图象即可得的取值范围.
【详解】解：由得：，
又当时，，
故当时，；
依此类推得：当时，，且.
如图.由，得，解得或，解得或.故若对任意，都有，则.

故选：B.

二、多选题
9．下列结论正确的是（    ）
A．， B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
【答案】BD
【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.
【详解】当时，为负数，所以A不正确；
若，则，考虑函数在R上单调递增，
所以，即，所以B正确；
若，则，，所以C不正确；
若，，，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.
10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．，为奇函数
B．，为偶函数
C．，的值为常数
D．，有最小值
【答案】BCD
【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断.
【详解】解：因为，，
对于A：若为奇函数，则，即，
即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；
对于B：若为偶函数，则，即，
即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；
对于C：当，时为常数函数，故C正确；
对于D：的定义域为，，
所以，
当，即时变形为，
当时方程有解，
当、时方程在上恒成立，
当，即时，
方程在上有解，所以，
即，
因为，
当、时变形为，解得，
当或时，可以求得的两个值，
不妨设为和，则，
所以解得，
所以当时，，有最小值，故D正确；
故选：BCD
11．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.
【详解】A：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，
结合及的图象知，方程无解，
故不存在“3倍值区间”，A错误；
B：为减函数，
若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，
所以可取，，
所以存在“3倍值区间”，B正确；
C：为增函数，
若存在“3倍值区间”，则，得，
所以存在“3倍值区间”，C正确；
D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，
若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，
所以不存在“3倍值区间”，D错误．
故选：BC
12．已知函数，则（    ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然，，即函数是偶函数，
又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；
当时，，的最小值为，最大值为，
即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，
因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；
因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；
因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，
又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，
令，，显然在单调递减，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，
所以方程有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.

三、填空题
13．设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围.
【详解】解：根据题意，可知，
设，则，
因为不等式的解集为空集，
即在区间上的解集为空集，
即在区间上无解，
所以在区间上恒成立，
对于二次函数，开口向上，对称轴为，
，
当，即时，则，
所以在区间上恒成立，符合题意；
当，即时，
令，解得：或，
要使得在区间上恒成立，
只需满足且，
即且，解得：（舍去）或，
又因为，故解得：，
综上得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有且，则______.
【答案】##0.5

【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到，赋值法求出，从而求出答案.
【详解】中，
令得：，
所以，
故，即，
所以，
将代替得：，
从而得到，
即为周期为6的函数，
由于，
故，
中，
令得：，
因为，所以，
令得：，
因为，所以，
令得：，即，
解得：，
令得：，即，
解得：，
令得：，即，
解得：，
从而，
故.
故答案为：.
15．已知定义域为，对于任意，，当时，则的最小值是______．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域,根据函数的性质设，因,则，，则,根据单调性和对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值,代入即可得出结论.
【详解】解：由题意，由，即，解得，
∴函数定义域为，不妨设，
∵
∴，，
∴
，
∵，则，∴，
∴，∴，
根据对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值，
∴.
故答案为:
【点睛】本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.
16．在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于__________（写出一个值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出与x轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而得解.
【详解】因为，
令，即，得，即，则图象与x轴的所有交点为，
因为其中点离原点最近，所以恒成立，
不等式两边平方整理得，
当时，，因为，故恒成立；
当时，，即恒成立，因为，则，故；
当，即时，显然上述不等式恒成立，
综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.
故答案为：（答案不唯一）.

四、解答题
17．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
(1)若，求；
(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；
(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)n的最大值为11

【分析】（1）根据新定义即可求出；
（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.
（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.
【详解】（1）由集合知，，
所以.
（2）因为，，
由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，
根据定义要让取到最大值，
则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，
4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，
所以有一组满足题意，
（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，
因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，
不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,
则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，
同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，

是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，
所以，
解得或（舍去），
所以n的最大值为11.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
18．已知函数.
(1)若，解不等式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)或
(2)答案见解析

【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；
（2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之即可，注意时不等号的方向.
【详解】（1）当时，，
所以由得，解得或，
故的解集为或.
（2）由得，
当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为；
令，解得或，
当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；
当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为；
当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；
当，即时，不等式解得，故不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
(1)判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论；
（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围；
（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证结论.
【详解】（1）
因为为恒正函数且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为
故，得证．
（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
整理得：在区间上恒成立，
因为在上的最小值为，
得．
（3）不存在.
假设存在，则有
即，对任意成立，
等价于，对任意成立．
等价于，对任意成立
令，令，得，
当时，取得最大值，最大值为；
令，令，得，
易知
可得，不存在．
所以，假设不成立，不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数．
20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：
级数
全年应纳税所得额所在区间
税率（%）
速算扣除数
1

3
0
2

10
2520
3

20
16920
…
…
…
…

(1)设全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求；
(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
(3)设小王全年综合所得收入额为（不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为元，求关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？
注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．
【答案】(1)
(2)元
(3)；5712元

【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；
（2）根据公式计算即可；
（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论的情况），再结合分类讨论即可.
【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得.
（2）小王应纳税所得额为元.
则小王全年应缴纳综合所得个税为：.
（3）小王全年应纳税所得额为，
由，则有.
则当；
当；
当；
当.
故关于的函数解析式为.
故当时，.
∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.
21．已知函数，其中.
(1)当时，若，求的值；
(2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)，

【分析】（1）令，可得，即可得答案；
（2）分、、、四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即可得答案.
【详解】（1）令，则，，
∴，
当时，，
∴，
∴.
（2），
①当，即时，在上单调递增，
∴.
②当，即时，
1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴，
记，
在上单调递增，，∴，
∴.
2°.时，.
3°.时，，
而，
∴.
综上，对，，
∴，当时取得最小值.
22．如图，矩形的长，宽，两点分别在轴，轴的正半轴上移动，两点在第一象限.求的最大值.

【答案】
【分析】过点作，垂足为，设，求得的坐标，由两点间的距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，过点作，垂足为，设，
则，
所以，
所以
，
又由，可得，
所以当时，取得最大值.

【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.