沪科版八年级下册18.1 勾股定理完美版ppt课件

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其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了它，下面让我们一起通过视频来了解吧！
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如图）：
问题1 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形 三边之间有什么特殊关系？
问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的边长为单位 1)：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形)：
你还有其他方法求 C 的面积吗？
根据前面求出的 C 的面积直接填写下表：
思考 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
右边的动图形象地说明了命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得：
在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
（a、b、c 为正数）
如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾2 + 股2 = 弦2
解：(1) 由勾股定理得
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
x2 + (2x)2 = 52，
(2) ∠A = 30°，b = 15，
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
(2x)2 - x2 = 152，
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
【变式题2】在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长.
解：由于斜边不确定，需分类讨论：当 AB 为斜边时，如图①，当 BC 为斜边时，如图②，
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
例2 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长.
解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5.根据三角形面积公式，得 AC·BC = AB·CD.∴ CD = .
由直角三角形的面积求法可知，直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理结合使用．
根据标注的面积，求下图中未知边长 x，y 的值：
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15.
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5.
1. 下列说法中，正确的是 （ ）A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形， 则此正方形的面积为 cm².
3. 在△ABC 中，∠C = 90°.（1）若 a = 15，b = 8，则 c = ；（2）若 c = 13，b = 12，则 a = .4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长 为___________.
5. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角 形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm.由勾股定理得 152 + x2 = 172，即 x2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64，解得 x = ±8（负值舍去）.所以另一直角边长为 8 cm.
直角三角形的面积是
6. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，∠B = 45°，∠C = 30°，AD = 1，求△ABC 的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB = ∠ADC = 90°．在 Rt△ADB 中，∵∠B +∠BAD = 90°，∠B = 45°，∴∠B =∠BAD = 45°.∴ BD = AD = 1. ∴ AB = .在 Rt△ADC 中，∵∠C = 30°，∴ AC = 2AD = 2.∴ CD = . ∴ BC = BD + CD = 1 + .∴△ABC 的周长为 AB + AC + BC = .
解：∵ AE＝BE，∴ S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.又∵ AE2＋BE2＝AB2，∴ 2AE2＝AB2.∴ S△ABE＝ AB2 ＝ .同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.又∵ AC2＋BC2 ＝ AB2，∴ 阴影部分的面积为 AB2＝ .
7. 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3，求△ABE 及阴影部分的面积.