人教B版高中数学选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元综合测评（含解析）

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单元综合测评一．单选题1.（2020·抚顺十中月考）已知是空间的一个基底,若,,则（ )A.是空间的一个基底B.是空间的一个基底C.是空间的一个基底D. 与中的任何一个都不能构成空间的一个基底2.若为空间不同的四点,则下列各式不一定为零向量的是（ ）A.B.C . D.3.（2020·辽宁铁岭高中测试）已知向量,向量,且满足向量,则等于（ ）A.1B.-1C.2D.-24.（2020·呼铁一中模拟）已知向量,向量分别是直线的方向向量.若,则（ ）A.B. C.D.5.（2020·北京永定路中学检测）已知向量,,是一组单位正交向量, ,,则=（ ）A.7B.-20C.28D.116.（2020·丹东一中月考）已知二面角的大小为, 为异面直线,且,,则所成的角为（ ）A. B. C. D. 7.(2020·山东东营一中模拟）已知向量,.若三个向量共面,则实数等于（ ）A. B. C. D. 8.（2020·盐城一中月考）定义.若向量,向量为单位向量,则的取值范围是（ ）A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.(-1,5)二、多选题9.已知点是平行四边形所在的平面外一点,如果,.下列结论正确的有（ ）A. B. C. 是平面的一个法向量D. 10.已知为正方体,下列说法中正确的是（ ）A. B. C.向量与向量的夹角是60°D.正方体的体积为11.（2020·东北师大附中等校高三联考）如图,在正方体中,点是棱的中点,点是线段上的一个动点.以下四个命题正确的为（ ）A.异面直线与夹角为60°B.异面直线与所成的角是定值C.三棱锥的体积是定值D.直线与平面所成的角是定值12.（2019·浙江高考改编）设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等, 是棱上的点（不含端点）.记直线与直线所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角的平面角为,则大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题13.（2020·山东日照实验高中模拟）如图,在长方体中, ,点是与的交点,则点的坐标是______.14.（2020·天津七校高二期末）在正四面体中,棱长为2,且是棱的中点,则的值为_______.15.（2020·沈阳一中月考）在长方体中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点到截面的距离为_______.16.（2020·泰安19中期中）如图,正三棱柱的各棱长都是2, 分别是,的中点,则的长是______; 与平面夹角的余弦值为________.四、解答题17.（2020·东北育才中学月考）已知空间三点,,设.若与垂直,求满足的关系式.18.（2020·郑州模块统考）如图,一块矿石晶体的形状为四棱柱,底面是正方形, ,,且=60°.（1）设,,,试用表示；（2）已知0为四棱柱的中心,求的长.19.（2020·浙江丽水高二期末）如图已知两两垂直, ,为的中点,点在上, （1）求的长；（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.20.（2020·昆明五月模拟）如图,三棱柱中, ,,=60°.（1）证明：；（2）若平面⊥平面,,求直线与平面所成角的正弦值.21.（2020·北京四中模拟）如图,已知平面,,,为等边三角形.（1）若平面平面,求的长度；（2）求直线与平面所成角的取值范围.22.（2020·辽宁省实验中学模拟）如图,在四棱锥中, 底面,,底面是正方形,点是棱上异于点的点.（1）求证：；（2）若二面角的大小为60°,试确定点的位置.参考答案1.答案：C解析：假设,其中,即,得,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一个基底,故选C.2.答案：A解析： A中,原式,不一定为;B中,原式; C中,原式；D中,原式.故选A3.答案：D解析：由题意可得,,从而可得.故选D4.答案：D解析：由题意可知,,所以,解得,.故选D.5.答案：C解析：因为,所以.6.答案：B解析：设的方向向量分别为.由知分别是平面a,B的法向量.因为,所以或.因为两异面直线所成的角的范围为,所以异面直线所成的角为.7.答案：D解析：由题意,得,所以解得,故选D.8.答案：B解析：本题在新定义的背景下考查空间向量的概念、数量积及坐标运算.因为,,设,所以. 又,所以,所以.故选B.9.答案：ABC解析：对于A,,所以,即,A正确；对于B,,所以,即, B正确；对于C,由,且,得出是平面的一个法向量,C正确；对于D,由是平面的法向量,得出,则D错误.故选ABC10.答案：AB解析：由向量的加法得到：,因为,所以,所以A正确；因为,,所以,故B正确；因为是等边三角形,所以=60°,又,所以异面直线与所成的角为60°,但是向量与向量的夹角是120°,故C不正确；因为,所以,故,因此D不正确.故选AB.11.答案：BC解析：以点为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得 , ,设,可得, ,可得,故异面直线与所成的角是定值,故B正确.三棱锥的底面的面积为定值,且,点是线段上的一个动点,可得点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值,即三棱锥的体积为定值,故C正确；易得,,,可得平面的一个法向量为,可得不为定值,故D错误.12.答案：AC解析：过作直线,过作底面的垂线,为垂足,过作于,过于,连接.由题意可知,二面角 的大小与二面角的大小相等,结合空间角的定义知,在与中,由得,所以（均为锐角）.故A正确,B错误；在与中,由得,所以（均为锐角）.故C正确；由于不存在的可能,故D错误.13.答案：解析：由题意易得,点是线段的中点,所以点14.答案： 解析：由题意,设,建立空间的一个基底,在正四面体中,,,所以15.答案： 解析： 建立如图所示的空间直角坐标系.则,则.设平面的法向量为, 则即令,得.所以到平面的距离16.答案： 解析： 取的中点,连接.以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,则,故.因为平面的一个法向量为,设与平面的夹角为,则,故 .17.答案：见解析 解析：由于,则,,.由于与垂直,则,即有,即,化简可得.故满足的关系式为18.答案：见解析 解析：（1）由,得,所以.（2）为四棱柱的中心,即为线段的中点.由已知条件得由（1）得,则所以的长为,所以的长为.19.答案：见解析 解析：（1）以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,故.（2）设,由题意得,即所以解得所以,因为,所以,所以,所以.20.答案：见解析 解析：（1）如图,取的中点,连接.因为,所以.由于,=60°,故为等边三角形,所以.因为,所以平面.又平面,故（2）由（1）知,.又平面平面,交线为,所以平面故两两相互垂直.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则由题设知,则设是平面的一个法向量,则即可取故所以与平面所成角的正弦值为.21.答案：见解析 解析：（1）设,取中点,连接.以为坐标原点,射线的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,.所以易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为, 则即令,则,可得又,所以,解得,所以的长度为2.（2）由（1）可知平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为,则所以,所以即直线与平面所成角的取值范围为.22.答案：见解析 解析：（1）如图,建立空间直角坐标系.设,则.因为点是棱上异于点的点,所以可设,则,且.所以所以.所以（2）由（1）可知,显然是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.因为所以即所以令则,所以.因为二面角的大小为60°所以因为,所以即点是棱上满足的点.