第5章 生活中的轴对称（基础篇）-【挑战满分】七年级数学下册阶段性复习精选精练（北师大版）

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第5章 生活中的轴对称（基础篇）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（       ）
A．等边三角形 B．正方形
C．含锐角的直角三角形 D．圆
3．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
5．某市计划在公路旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（       ）
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　）

A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．ABB′C′
7．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（ ）

A．AM=BM B．∠ANM=∠BNM
C．∠MAP=∠MBP D．AP=BN
8．等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为（       ）
A．7cm B．13cm C．6cm D．8cm
9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为(　　)

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
10．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为(       )   

A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．无法确定
11．下列说法正确的是(　　)
A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴
B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形
C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线
D．等腰三角形有3条对称轴
12．如图，将△AOD沿直线l折叠后得到△BOC，下列说法中不正确的是（       ）

A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB，CD
C．△AOD和△BOC均是等腰三角形 D．AD=BC，OD=OC
二、 填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为______．
14．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为______．

15．如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为_____．

16．已知一张三角形纸片（如图甲），其中，．将纸片沿折叠，使点与点重合（如图乙）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合，折痕为（如图丙），则的周长为__________（用含的式子表示）．

17．如图，如图，∠AOB=45º，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2＝___°，△OP1P2的面积最小值为___．

18．如图，在△ABC中，，，，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在直线BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是__________；△BEC面积的最大值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共60分）
19．（8分）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．








20．（10分）（1）如图1，直线两侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A、B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）知识拓展：如图2，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）．






21．（10分）如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．
（1）求出AB，EH的长度以及∠G的度数；
（2）连接AE，DH，AE与DH平行吗？为什么？







22．（10分）如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．
（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；
（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围 ．





23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．
（1）求证：△ABD≌△ACD'．
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．








24．（12分）如图，取一张长方形纸片ABCD，沿AD边上任意一点M折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，设折痕为MN，D′C′交BC于点E且∠AMD′=α，∠NEC′=β
（1）探究α、β之间的数量关系，并说明理由．
（2）连接AD′是否存在折叠后△AD′M与△C′EN全等的情况？若存在，请给出证明；若不存在，请直接作否定的回答，不必说明理由．   






























参考答案
1．C
【分析】
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B、 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．C
【分析】
根据轴对称图形的概念逐一判断即可得．
解：A．等边三角形一定是轴对称图形；
B．正方形一定是轴对称图形；
C．含锐角的直角三角形不一定是轴对称图形；
D．圆一定是轴对称图形；
故选：C．
【点拨】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
3．C
【分析】
根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得．
解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是3，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
4．C
【分析】
利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°−∠EBC，结论可得．
解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，
则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°−∠EBC＝40°，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键．
5．B
【分析】
用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．
解：作点A关于直线的对称点，连接交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．
故选B
【点拨】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．
6．D
【分析】
根据轴对称的性质解答．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，
∴AC＝A′C′，BO＝B′O，AA′⊥MN，但ABB′C′不正确，
故选：D．
【点拨】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
7．D
【分析】
根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
解：直线是四边形的对称轴，
，，．
由于和不是对应线段，故不一定等于．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．
8．B
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长分别为13cm、6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当6cm是腰时，因6+6＜13，不能组成三角形，应舍去；
当13cm是腰时，6cm、13cm、13cm能够组成三角形．
则第三边应是13cm．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．
9．C
【分析】
根据图形翻折变换的性质得出AD=BD，故AC+（CD+AD）=AC+BC，由此即可得出结论．
解：∵△ADE由△BDE翻折而成，∴AD=BD．
∵AC=5cm，BC=10cm，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=15cm．
故选C．
【点拨】本题考查了翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
10．B
【分析】
先过点P作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得：OE＝OF＝OG，即可求得AB与CD之间的距离．
解：过点P作FG⊥AB．
∵AB∥CD，∴FG⊥CD，∴FG的长度就是AB与CD之间的距离．
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点P．PE⊥AC于E，
∴PE＝PF＝PG，∴AB与CD之间的距离等于2•PE＝6（cm）．
故选B．

【点拨】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．
11．C
【分析】
此题的考点是轴对称的定义和性质1，根据定义和性质特点分析各选项．
解：A选项说的不够具体；在等腰三角形里，只有顶角的角平分线才是它的对称轴，故错误；
B选项所说“有一个内角的的三角形”可能是各种各样的三角形，不能因此判定是轴对称图形，故错误；
C选项等腰直角三角形斜边上的中线即为它的对称轴，故正确；
D选项等腰三角形有3条或1条对称轴，故错误．
故选：C．
【点拨】学生要熟练掌握轴对称的定义和性质定理，解题的关键是根据定义和性质内容判断出正确结论．
12．C
解：根据轴对称图形的性质可得：∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直线l垂直平分AB，CD，AD=BC，OD=OC，
即A、B、D正确，C错误；
故选：C.
考点：轴对称图形的性质
13．4
【分析】
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，求得多边形的边，再利用正多边形的性质可得答案．
解：设多边形的边数为n，
根据题意（n-2）•180°=360°，
解得n=4．
所以正多边形为正方形，
所以这个正多边形有4条对称轴，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，解一元一次方程，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°，也考查的正多边形的对称轴的条数．
14．
【分析】
根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．
解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，
∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，
∵∠ABC＝32°，
∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，
故答案为：118°．
【点拨】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．
15．6
【分析】
根据轴对称的性质，得，，结合三角形周长的性质计算，即可得到答案．
解：∵点关于，的对称点分别是，
∴，
∴的周长
故答案为：6．
【点拨】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．
16．
【分析】
根据折叠的性质可得△BDE≌△ADE，△GEF≌△CEF，进而求得BE=10-a，BG=10-2a，根据C△BFG = BG + BC求解即可．
解：∵将纸片沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴△BDE≌△ADE，
∴AE = BE，
∵AB= AC = 10, CE= a，
∴AE= AC–CE=10–a，
∴BE=10-a，
∵再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上G点重合，折痕为EF，
∴△GEF≌△CEF，
∴GE=CE=a,GF=CF，
∴BG= BE–GE=10–a-a=10-2a，
∵BC= 6，
∴C△BFG = BG ＋ BF ＋ GF
=BG + BF + CF
=BG + BC
=10-2a+6
=16-2a．
故答案为：16-2a．
【点拨】本题考查了折叠的性质，全等的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
17．     90°     8
【分析】
连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．

∵S△OMN= •MN•OH=14，MN=7，
∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠P2OB，OP=OP1=OP2
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2（∠POA+∠POB）=90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP=OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值=×4×4=8，
故答案为90°；8．
【点拨】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．
18．          4
【分析】
利用对称可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，即可知CE的长度不超过BC的长度，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用已知的长度即可解答．
解：∵B、E关于AD对称，
∴AE=AB=4，
则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，
如图，

在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC=5，
当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；
又∵B、E不重合，
∴有，
当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF=AF-AC=4-3=1，
即CE最短为1，
即CE的取值范围为：；

当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，
则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，
利用面积可知，则可求得AG=2.4，
∵AE=AB=4，
∴EG=4-2.4=1.6，
则△BCE的面积最大值为：，
即△BCE的面积的最大值为4；
故答案为：，4．
【点拨】本题考查了轴对称、圆的相关知识以及三角形的面积等知识，利用对称得出E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，是解答本题的关键．
19．见分析
【分析】
分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点．
解：①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；
②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求．

【点拨】此题主要考查了作图−复杂作图，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．
20．（1）见分析；（2）见分析
【分析】
（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交已知直线于点C即可；
（2）根据两点之间线段最短，作A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于C，由此即可得出答案．
解：（1）连接AB，交已知直线于点C，则该点C即为所求；

（2）作点A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于点C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．

【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，熟练掌握轴对称图形的性质是解决本题的关键．
21．（1）；（2），理由见分析
【分析】
（1）先根据四边形的内角和为360°和已知条件求得的度数，进而根据轴对称的性质求得AB，EH的长度以及∠G的度数；
（2）根据对称的性质可知，对称轴垂直平分对应的两点连成的线段，则，进而根据垂直于同一直线的两直线平行即可进行判断．
解：（1）四边形ABCD中，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，

∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AD＝4cm，EF＝5cm．
，，
（2）连接AE，DH，则

已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，的对称点分别为,
则．

【点拨】本题考查了轴对称的性质，四边形内角和，掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．（1）7；（2）7＜L＜10．
【分析】
（1）由翻折变换的性质可得CE=CD，BE=BC，再求出AE=2，AD+DE=AC=5，然后由三角形的周长公式计算即可；
（2）由翻折变换的性质可得CE=CD，BE=BC，再求出AE=2，AD+DE=AC=5，然后由三角形的三边关系求出2＜AE＜5，即可求解．
解：（1）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边上的点E处，
∴DE=DC，BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=8-6=2，
∵AD+DE=AD+CD=AC=5，
∴△AED的周长=AD+DE+AE=5+2=7；
（2）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边下方的点E处，
∴DE=DC，BE=BC=6，
在△ADE中，AD+DE=AD+CD=AC=5，AE＜AD+DE，
即AE＜5．
在△ABE中，AE＞AB-BE，
即AE＞2．
∴2＜AE＜5，
∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，
即2+5＜L＜5+5，
即7＜L＜10，
故答案为：7＜L＜10．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、三角形周长的计算以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）．
【分析】
（1）由对称得到，再证明 即可；
（2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可．
解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

在△ABD与中，


（2）
，∠BAC＝=100°，
以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，

∠DAE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
24．(1)、α+β=90°；(2)、点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等；证明过程见分析.
解：(1)、α+β=90°．如图1，延长MD′交BC于点F．利用平行线的性质得到：∠AM D′=∠MFE=α．然后根据折叠的性质推知：∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′，故α+β=90°；(2)、当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．如图2，此时，B、E、D′三点重合．利用折叠的性质和全等三角形的判定定理HL证得这两个三角形全等；
试题解析：(1)、α+β=90°．理由如下：   
如图1，延长MD′交BC于点F．∵AD∥BC， ∴∠AM D′=∠MFE=α．   
又∠MD′E=∠D=90°，∠FD′E=90°，∴∠MFE+∠D′EF=90°，∠D′EF=∠NEC′， 故α+β=90°；
(2)、当点D′与点B重合时，△AD′M与△C′EN全等．   
如图2，此时，B、E、D′三点重合．∵由折叠可知，∠1=∠2，∴∠C′=∠C=∠A=90°，C′E=CD．
∵AD∥BC，∠2=∠3， 得∠1=∠3，即D′M=EN． 又AD′=DC， ∴AD′=C′E，   
∴在Rt△AD′M与Rt△C′EN中，，故Rt△AD′M≌Rt△C′EN（HL）．