新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十三中学2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试卷 (含答案)

2022-2023学年新疆乌鲁木齐十三中九年级（上）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列有关圆的一些结论：
   任意三点可以确定一个圆；
   相等的圆心角所对的弧相等；
   平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
   圆内接四边形对角互补；
   三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
   正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.    如图，是的直径，，是圆上两点，连接，，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，点，的坐标分别是，，点为坐标平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的母线长为______．
11. 若点与点关于原点成中心对称，则______．
12. 在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是点______．

13. 如图，以为圆心的圆与直线交于、两点，若恰为等边三角形，则弧的长度为______．

14. 如图是某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图所示，盒子上方是一段圆弧弧，为手提带的固定点，与弧所在的圆相切，手提带自然下垂时，最低点为，且呈抛物线形，抛物线与弧交于点，若是等腰直角三角形，且点，到盒子底部的距离分别为和，则弧所在的圆的半径为______．

15. 在平面直角坐标系中，已知点，，是轴上一动点．当时，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    在下面的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，．
    请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标；
    将绕着坐标原点顺时针旋转，画出旋转后的；
    在上述旋转过程中，求：点所经过的路径长．

17. 本小题分
    如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．
    求点、、坐标；
    若直线经过、两点，直接写出不等式的解集．

18. 本小题分
    如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点、、．
    用尺规作图法找出所在圆的圆心保留作图痕迹，不写作法；
    设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径．

19. 本小题分
    如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点，于点．
    求证：平分，
    若，，求的长，图中阴影部分的面积．

20. 本小题分
    某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价元时每天能清洗辆，定价元时每天能清洗辆，假设清洗汽车辆数辆与定价元取整数是一次函数关系清洗每辆汽车成本忽略不计．
    求与之间的函数表达式；
    若清洗一辆汽车定价不低于元且不超过元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
21. 本小题分
    正方形中，点是正方形内的一点，绕着点按逆时针方向旋转后与重合．
    如图，若正方形的边长为，，，求证：．
    如图，若点为正方形对角线上的点点不与点、重合，试探究、、之间的数量关系并加以证明．
     
22. 本小题分
    如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．
    求证：与相切；
    若，求的半径和的长度．

23. 本小题分
    如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．
    直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；
    在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
    将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，，
则的值为：．
故选：．
直接把代入方程，再结合，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
 

3.【答案】 

【解析】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；
圆内接四边形对角互补，故表述正确；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确．
故选：．
根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外心进行判断即可得到正确结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
．
故选：．
推出，求出的度数，由圆周角定理即可推出的度数．
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键根据是直径得直角三角形，找到同弧所对的圆周角．
 

5.【答案】 

【解析】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，

，，
，
，
而，
，
，
即．
故选：．
先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

，
，
是的内切圆，与、分别相切于点、，
，，
，
，
．
故选：．
连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标为，
抛物线绕原点旋转，
旋转后的抛物线的顶点坐标为，
旋转后的抛物线的解析式为．
故选：．
求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
 

8.【答案】 

【解析】解：设的坐标为，
和关于点对称．
，，
解得，．
点的坐标．
故选：．
设的坐标为，由于、关于点对称，则，．
本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
 

10.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积底面周长母线长，
圆锥的母线长圆锥的侧面积底面周长，
圆锥的母线长．
故答案为：．
利用圆锥的侧面积底面周长母线长，将公式变形得出圆锥的母线长圆锥的侧面积底面周长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，将公式进行正确变形是难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点成中心对称，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：旋转中心是点，
理由：绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，
作的垂直平分线过、、，
作的垂直平分线过、，
作的垂直平分线过，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是点．
故答案为：．
连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
本题考查了旋转变换的性质，根据对应点连线的平分线的交点即为旋转中心解答，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设直线交坐标轴于点、，作于点，
当时，，当时，，
故点的坐标为，点，
故CD，
，
，
是等边三角形，
，
弧的长度为：，
故答案为：．
根据题意和图形，可以得到的长度，然后利用弧长公式，即可得到弧的长度．
本题考查弧长的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，以的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
设所在的圆的圆心为，半径为，连接交轴于点，
设抛物线的表达式为，
是等腰直角三角形，，
点的坐标为，
代入抛物线的表达式，得，，
抛物线的表达式为，
当时，即，解得，
，
，与所在的圆相切，，
，
解得，
所在的圆的半径为．
故答案为：．
以的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，因为是等腰直角三角形，，得点的坐标为，可得抛物线的表达式为，把当代入抛物线表达式，求得的长，再在中，用勾股定理建立方程，求得所在的圆的半径．
本题考查圆的切线的性质，待定系数法求抛物线的表达式，垂径定理．解题的关键是建立合适的平面直角坐标系得出抛物线的表达式．
 

15.【答案】或 

【解析】解：在轴的上方作等腰直角，，，以为圆心，为半径作交轴于，，连接，，，．

，，
，
，，是等腰直角三角形，
，，
设，
则，
解得或舍弃，
，
根据对称性可知也符合条件，
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
在轴的上方作等腰直角，，，以为圆心，为半径作交轴于，，连接，，，首先证明，根据，构建方程即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外接圆与外心，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是圆周角定理的运用．
 

16.【答案】解：如图，点坐标为；
如图，为所作；

如图，，
所以点所经过的路径长． 

【解析】利用、点的坐标建立直角坐标系，然后写出点坐标；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到；
先利用勾股定理计算出，然后利用弧长公式计算点所经过的路径长．
本题也考查了弧长公式，考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，每对对应点与旋转中心的夹角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

17.【答案】解：令，则，
解得或，
点坐标为，点坐标为，
令，，
点坐标为；
由图象可得，时，抛物线在直线上方，
的解集为． 

【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标．
通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

18.【答案】解：如图，点即为所求；

如图，连接交于点，连接．

，
，
是半径，
，
，
，
，则有，
． 

【解析】作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求；
如图，连接交于点，连接利用垂径定理，勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】证明：如图，连接，

为切线，
，且，
，
，
，
，
，
即平分；
，，
，
，
平分，
，且
，，
，
，，
 

【解析】连接，可证得，则，可得结论；
由直角三角形的性质可求，，的长；
先求得和扇形的面积，利用面积差可求得阴影部分的面积．
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握切线的性质及扇形的面积公式是解题的关键．注意题目中有切点，则连接圆心和切点是常用的辅助线．
 

20.【答案】解：设与的一次函数式为，由题意可知：
，解得：，
与之间的函数表达式为；
设汽车美容店每天获利润为元，由题意得：
，
，且为整数，
当或时，．
定价为元或元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是元． 

【解析】设与的一次函数式为，用待定系数法求解即可；
设汽车美容店每天获利润为元，根据利润等于定价乘以清洗汽车辆数，再减去工资元，可得关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：证明：绕着点按逆时针方向旋转后与重合，
，
，，，
，，，
，
，
，
；
，理由如下：
由题意，是正方形的角平分线，绕着点按逆时针方向旋转后与重合，
，，，，
，
，
又，，
，
． 

【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
由旋转的性质可得，，，由勾股定理的逆定理可证，可得结论；
由正方形的性质和旋转的性质可得，，，，进而可得，由勾股定理可求解．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
，，
，
是的半径，
是的切线；
设半径为，则，在中，由勾股定理得，
，
即，
解得或舍去，
如图，延长交于，由相交弦定理得，
，
即，
，
． 

【解析】根据圆周角定理以及平行线的性质可得，再根据切线的判定方法进行判断即可；
根据勾股定理列方程求解即可求出半径，
本题考查切线的判定，圆周角定理，掌握切线的判定方法以及圆周角定理、相交弦定理是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：令，得，
，
令，得，解得，，
，
把、两点代入得，
，解得，
抛物线的解析式为，
令，得，
解得，，或，
；

过点作轴，与交于点，如图，

设，则，
，
，
，
当时，四边形面积最大，其最大值为，
此时的坐标为；
方法二：连接，如图，

设，



，
当时，四边形面积最大，其最大值为，
此时的坐标为；
将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图：

，，
，，
当在抛物线上时，
，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或，
当或时，线段与抛物线只有一个公共点． 

【解析】令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令，即可求得点坐标；
过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，即可得点的坐标；
根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值即可．
本题是几何变换综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．